1632
правки
Изменения
м
<tex>u \in U</tex> — ребра;
предикат <tex>R</tex> — ''инцидентор'' гиперграфа <tex>H</tex>.
Под элементом гиперграфа будем понимать его вершину или ребро Очень просто проверить что на рис. 3 представлен <tex> \alpha </tex>-ацикличный гиперграф. Он содержит четыре гиперребра <tex>- ABC, CDE, EFA, ACE</tex>. Сочленение для всего множества гиперребер является <tex> ABC \cap ACE = AC </tex> , так как после удаления вершин <tex>A</tex> и <tex>C</tex> гиперграф не будет связным (вершина <tex>B</tex> не будет ни с кем соединена). Заметим, что на рис. 6 подмножетсво гиперребер <tex>\{ ABC, CDE, EFA \}</tex> не имеет сочленения. Однако, это множество не является вершинно - порожденным , таким образом, нет никаких противоречий с предположением, что гиперграф на рис. 5 является <tex> \alpha </tex>-ацикличным. Заметим, что <tex> \alpha </tex>-ацикличность имеет одно нелогичное свойство: при добавлении гиперребер к <tex> \alpha </tex>-цикличному гиперграфу он может стать <tex> \alpha </tex>-ацикличным (например, при добавлении гиперребра, которое охватывает все вершины, всегда будет делать гиперграф <tex> \alpha </tex>-ацикличным). Из-за этого свойства было введено более строгое определение, тназываемое <tex> \beta </tex>-ацикличностью. е {{Определение|definition=Гиперграф <tex>H = (V, E) </tex> является '''<tex> \beta </tex>-ацикличным''' (англ. любой элемент множества ''<tex> \beta </tex>-acyclity'') , если все его подгиперграфы <tex>X \cup Ualpha </tex>-ацикличны.
'''Гиперграф''' — такое обобщение неориентированного графа, когда ребрами могут служить произвольные подмножества заданного множества вершинТак например гиперграф на рис. 5 является <tex> \alpha </tex>-ацикличным, а но не только двухвершинные является <tex> \beta </tex>-ацикличным, так как его подгиперграф на рис. 6 является <tex> \alpha </tex>-цикличным. == См. также ==* [[Основные_определения_теории_графов|Основные определения теории графов]] == Источники информации ==* [https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Berge wikipedia.com — Клауд Берж]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergraph wikipedia.com — Гиперграфы]* [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X09003446?np=y sciencedirect.com — Ацикличность в гиперграфах] [[Категория:Дискретная математика и одновершинные.алгоритмы]][[Категория:Основные определения теории графов]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Гиперграфом''' (англ. ''hypergraph'') <tex>H</tex> называют такую пару <tex>H = (X, E)</tex> , где <tex>X - </tex> множество вершин, а <tex>E -</tex> семейство подмножеств <tex>X</tex> , называемых '''гиперребрами''' (англ. ''hyperedges'')
}}
Обычные графы, у которых ребра могут соединять только две вершины, являются частным случаем гиперграфа, у которых все гиперребра содержат только две вершины.
[[Файл:Hypergraph.jpg|thumb|450px|Рис. 1: Гиперграф с множеством вершин <tex>V = \{ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7 \}</tex> и гиперребрами <tex>E = \{ \{ v_1, v_2, v_3 \} , \{ v_2, v_3 \} , \{ v_3, v_5, v_6 \} , \{ v_4 \} \}</tex>]]
==Основные понятия гиперграфов==
{{Определение
|definition=
'''Путем''' (англ. ''path'') между двумя гиперребрами <tex>e_i</tex> и <tex>e_j</tex> гиперграфа <tex>H</tex> называется последовательность гиперребер <tex>e_{u_1}, e_{u_2} , \ldots ,e_{u_k}</tex> таких что :
# <tex>e_{u_1} = e_i </tex> и <tex>e_{u_k} = e_j</tex>
# <tex>\forall v: 1 \leqslant v \leqslant k-1, e_v \cap e_{v+1} \ne \emptyset</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Гиперграф <tex>H</tex> называется '''связным''' (англ. ''connected'') тогда и только тогда, когда существует путь между каждой парой гиперребер.
}}
[[Файл:Connected_hypergraph.jpg|thumb|450px|center|Рис. 2: Связный гиперграф]]
Пусть <tex>E - </tex> набор гиперребер, <tex>e_1</tex> и <tex>e_2 - </tex> элементы <tex>E</tex> и <tex>q = e_1 \cap e_2</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>q</tex> называется '''сочленением''' (англ. ''articulation'') <tex>E</tex> , если при его удалении из всех гиперребер <tex>E</tex>, множество разрывается.
}}
На рис.2 <tex>q = e_4 \cap e_6 = \{ x_{12}, x_{13}\}</tex> является сочленением <tex>E</tex>.
==Матрица инцидентности ==
Пусть дан гиперграф <tex>H = (X, E)</tex> , где <tex> X = \{ x_1, x_2, \ldots , x_n \}</tex> и <tex> E = \{ e_1, e_2, \ldots , e_m \}</tex>. Любой гиперграф может задаваться матрицей инцидентности (смотри [[Матрица_инцидентности_графа|матрицу инцидентности в обычном графе)]] <tex>A = (a_{ij}) </tex> размером <tex> n \times m</tex>, где
<tex> a_{ij} = \left \{
\begin{array}{ll}
0 & x_i \in e_j \\
1 & \mathrm{otherwise}
\end{array}
\right.
</tex>
Так например, для гиперграфа на рис.1 мы можем построить матрицу инцидентности по таблице отношения принодлежности вершины к гиперребру:
{| class="wikitable" align="left" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!
!<tex>e_1</tex>
!<tex>e_2</tex>
!<tex>e_3</tex>
!<tex>e_4</tex>
|-align="center"
!<tex>v_1</tex>
|✓|||| ||
|-align="center"
!<tex>v_2</tex>
|✓||✓|| ||
|-align="center"
!<tex>v_3</tex>
|✓||✓||✓||
|-align="center"
!<tex>v_4</tex>
| |||| ||✓
|-align="center"
!<tex>v_5</tex>
|||||✓||
|-align="center"
!<tex>v_6</tex>
|||||✓||
|-align="center"
!<tex>v_7</tex>
|||||||
|}
<tex> A = </tex>
<tex>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}</tex>
==Цикл в гиперграфе==
{{Определение
|definition=
'''Простым циклом''' длины <tex>s</tex> в гиперграфе <tex>H = (V, E)</tex> называется последовательность <tex>( A_0, v_0, A_1, \ldots , A_{s - 1}, v_{s - 1}, A_s)</tex> , где <tex>A_0 , \ldots , A_{s - 1} -</tex> различные ребра <tex>H</tex> , ребро <tex>A_s</tex> совпадает с <tex>A_0</tex> , а <tex>v_0, \ldots , v_{s - 1} -</tex> различные вершины <tex>H</tex> , причем <tex>v_i \in A_i \cap A_{i+1}</tex> для всех <tex> i = 0, \ldots , s - 1</tex>.
}}
[[Файл:Cycle_hyper.jpg|thumb|450px|center|Рис. 3: Простейший случай цикла в гиперграфе]]
Универсальным способом задания гиперграфа является кенигово представление.
{{Определение
|definition=
'''Кенигово представление''' гиперграфа <tex> H = (V, E) -</tex> обыкновенный двудольный граф '''<tex>K(H)</tex>''' , отражающий отношение инцидентности различных элементов гиперграфа, с множеством вершин <tex>V \cup E </tex> и долями <tex>V, E</tex>.
}}
Первым, кто дал определение ацикличности гипергафа является Клауд Берж:
{{Теорема
|statement=
Гиперграф <tex>H</tex> не содержит циклов в том случае, если его кенигово представление <tex>-</tex> ацикличный граф, сожержит в противном случае.
}}
Таким образом, если у нас есть цикл в графе кенигова представления, значит и сам гиперграф имеет цикл.
[[Файл:Cycle_example.png|thumb|center|500px|Рис. 4: Пример гиперграфа, содержащего цикл]]
===Алгоритм нахождения цикла в гиперграфе===
Поскольку гиперграф может задаваться кениговым представлением, тогда произведём серию поисков в глубину в двудольном графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).
==Ацикличность гиперграфов==
{{Определение
|definition=
'''Редукцией''' (англ. ''reduction'') гиперграфа <tex>H = (V, E)</tex> называется такой гиперграф <tex>H' = (V, E')</tex> , который получается из исходного путем удаления всех гиперребер, которые полностью содержатся в других гиперреберах.
}}
{{Определение
|definition=
Гиперграф называется '''уменьшенным''' (англ. ''reduced'') , если он эквивалентен своей редукции, то есть не имеет гиперребер внутри других гиперребер.
}}
Пусть <tex>M - </tex> множество вершин гиперграфа <tex>H = (V, E)</tex>. Множество '''частичных ребер''' (англ. ''partial edges''), порожденных множеством <tex>M</tex>, определяется как множество, полученное путем пересечения гиперребер из множества <tex>E</tex> с <tex>M</tex>. Таким образом, получаем множество : <tex> \{ e \cap M : e \in E \} - \{ \emptyset \} </tex> и берем его редукцию.
Множество частичных ребер, порожденное из гиперграфа <tex>H</tex> множеством <tex>M</tex>, называется '''вершинно-порожденным''' (англ. ''node-generated'') множеством частичных ребер.
{{Определение
|definition=
'''Блоком''' (англ. ''block'') уменьшенного гиперграфа называется связное, вершинно - порожденное множество частичных ребер без сочленения.
}}
{{Определение
|definition=
Множество частичных ребер называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если оно содержит одно гиперребро.
}}
{{Определение
|definition = Уменьшенный гиперграф называется '''Гиперграфом''' <tex>H = (X, U; R)</tex> называется пара множеств <tex>X = \{x_i / i \in I\}alpha </tex>, - ацикличным''' (англ. ''<tex>U = \{u_j / j \in J\}alpha </tex> вместе с двуместным предикатом <tex>R \Leftrightarrow R(x-acyclity'') , u)</tex>если всего его блоки тривиальны, определенным при всех иначе называют '''<tex>x \in Xalpha </tex>, -цикличным''' (англ. ''<tex>u \in Ualpha</tex>, где -cyclity'').}} ''Пример''
[[Файл:Alpha-acyclity-1.png|thumb|left|500px|Рис. 5: <tex>x \in Xalpha</tex> — вершины;-ацикличный гиперграф]][[Файл:Alpha-acyclity-2.png|thumb|center|500px|Рис. 6: Подмножество гиперребер <tex> \{ ABC, CDE, EFA\} </tex>]]
}}
