1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Задача Коши для ДУ высших порядков==
{{Определение|definition= <tex>F(x, y, y', \dots, y^{(n)})= 0\:\:(1) - </tex> ДУ порядка n}}
{{Определение|definition= Задача отыскания решения ДУ (1), удовлетворяющего услювию <tex>y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \:\dots\:, y^{(n - 1)}(x_{0}) = y_{0}^{(n - 1)}</tex>, где <tex>y_{0}, y'_{0}, \dots, y_{0}^{(n- 1)} \in \mathbb{R}</tex>}}
{{Теорема|author=Пикар|statement= Пусть ДУ разрешено относительно производной n-ного порядка т.е. <tex>y^{(n)}= f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})</tex>, f - непрерывна в некоторой окрестности начальных условий V и <tex>\frac{\partial f}{\partial y^{(j)}} \in C(V)</tex><br> тогда существует единственное решение задачи Коши}}
{{Определение|definition= Функция <tex>y = \phi(x, y, C_1, \dots , C_n)</tex> является общим решением, если:
1) Система разрешима относительно производных т.е.
<tex>\:\:\left\{\begin{matrix}
y =\phi (x, C_1, \dots, C_n)
\\
y' =\phi' (x, C_1, \dots, C_n)
\\
\dots
\\
y^{(n - 1)} =\phi^{(n - 1)} (x, C_1, \dots, C_n)
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
C_1 =\psi_1 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\\
C_2 =\psi_2 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\\
\dots
\\
C_n =\psi_n (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\end{matrix}\right.</tex><br>
2)<tex>y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)</tex> {{---}} решение уравнения (2) для любого набора констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>.}}
==Специальные типы ДУ высших порядков==
1) <tex>y^{(m)}= f(x)\:\:\: \Rightarrow \: y = \int \dotsc \int f(x)dx + \frac{C_1x^{n - 1}}{(n - 1)!} + \frac{C_2x^{n - 2}}{(n - 2)!} + \dots + C_{n - 1}x + C_n
</tex><br><br>
2)
<br><tex>F(x, y^{(k)}, \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y^{(k)}(x) = z(x) \Rightarrow y^{(n)} = z^{(n- k)}(x) \Rightarrow F(x, z', \dots, z^{(n - k)}) = 0</tex>
<br>
3)<br> <tex>F(y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y' = z(y) \Rightarrow y''=z'(y)= zz' \Rightarrow y^{(n)} = \phi (z, z', \dots, z^{(n - 1)})</tex>
