Изменения

Обозначим через <tex>V_{i}</tex> число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа вершин <tex>V</tex> имеет место равенство <tex>V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots</tex>. Аналогично, обозначим через <tex>F_{i}</tex> число граней выпуклого многогранника, у которых имеется <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа граней <tex>F</tex> имеет место равенство <tex>F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots</tex> . Посчитаем число ребер <tex>E</tex> многогранника. Имеем: <tex>3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E</tex>, <tex>3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E</tex>. По теореме Эйлера выполняется равенство <tex>4V – - 4E + 4F = 8</tex>. Подставляя вместо <tex>V</tex>, <tex>E</tex> и <tex>F</tex> их выражения, получим:

<tex>4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots – - (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8</tex>.