212
правок
Изменения
Нет описания правки
__TOC__
{{Задача
|definition = Пусть дан граф <tex>G = \left \langle {V, E} \right \rangle</tex>, удовлетворяющий условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]. Требуется найти в нем гамильтонов цикл.
}}
== Описание алгоритма ==
Поступим следующим образом: заведем очередь и положим в нее все вершины нашего графа (не важно в каком порядке). Пусть <tex> n = \left | V \right |</tex>. Тогда <tex>n(n -1)</tex> раз будем делать следующую операцию: * Если между первой (здесь и далее первая вершина Пусть <tex> v_1 </tex> {{---}} это голова очереди, <tex> v_2 </tex> {{---}} следующая за ней вершина в голове очереди) и так далее. Если между первой и второй вершиной в очереди есть ребро в графе <tex>G</tex>, то перемещаем первую вершину в конец очереди и переходим к следующей итерации.* Если между первой и второй вершиной в очереди ребра нет, то найдем вершину <tex>v_i</tex>, где <tex>i > 2</tex>, такую что, ребра <tex>v_1v_i, v_2v_{i+1} \in E</tex> (так как у нас для графа выполнена либо [[Теорема Оре|теорема Оре]], либо [[Теорема Дирака|теорема Дирака]], то такая вершина обязательно найдется; чуть позже мы докажем это докажем явно). После чего поменяем в очереди местами вершины <tex>v_2</tex> и <tex>v_i</tex>, <tex>v_3</tex> и <tex>v_{i-1}</tex>, <tex>v_{2+j} </tex> и <tex>v_{i-j}</tex>, и так далее, пока <tex>2 + j < i - j</tex> (то есть <tex>j</tex> пробегает все значения от <tex>0 </tex> до значения заданного неравенством). Теперь у нас появилось ребро между первой и второй вершинами в очереди (теперь вторая вершина, это та, которая была до разворота на <tex>i</tex>-й позиции), а также, гарантированно существует ребро между <tex>i</tex>-й и <tex>(i+1)</tex>-й вершинами очереди. После этого, так же как и в первом случае, оправляем первую вершину в конец очереди.
Таким образом после <tex>n</tex> итераций, мы получаем последовательность (вершины лежащие в очереди), где любые 2 соседние вершины соединены ребром, все вершины графа находятся в этой последовательности, и более того, каждая ровно один раз, а также существует ребро между последней и первой вершинами очереди, а это и значит, что мы решили поставленную задачу.
* После <tex>n(n - 1)</tex> итераций между каждой парой соседних вершин очереди существует ребро.
Докажем первое. Рассмотрим множество <tex>S = \{i\mid v_1v_i \in E\}</tex>, состоящее из индексов вершин, смежных с <tex>v_1</tex>, и множество <tex>T = \{i+1 \mid v_2v_{i+1} \in E\}</tex>, индексов вершин смежных с <tex>v_2</tex>. Заметим, что <tex>S \subset \{3, 4,...\ldots,n\}</tex>, а <tex>T \subset \{2, 3,...\ldots,n - 1\}</tex>, тогда <tex>S\cup T\subset \{2, 3,...\ldots,n\} </tex>, а значит <tex>\left\vert S\cup T\right\vert \leqslant n-1</tex>, в то же время <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} v_1 + \operatorname{deg} v_2 \geqslant n</tex> (по условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]). Из этого следует, что <tex>S\cap T\ne \varnothing</tex>, а это и значит, что искомая вершина существует.
Для доказательства второй части, достаточно заметить, что каждую итерацию алгоритма, мы, в случае отсутствия ребра, между <tex>v_1</tex> и <tex>v_{2}</tex> увеличиваем количество пар соседних в очереди вершин, между которыми есть ребро, как минимум на <tex>1</tex> (это прямое следствие условия поиска нужной вершины, в случае отсутствия ребра), для поиска такой пары требуется не более <tex>n</tex> итераций. Таких пар изначально не более <tex>n</tex>, откуда следует, что после <tex>n</tex> итераций, второе условие будет выполнено.
