10
правок
Изменения
Нет описания правки
==Матрица Татта==
{{Определение
|definition = '''Матрицей Татта''' (англ. '''Tutte matrix''') для графа <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами называется матрица размера <tex>n \times n</tex>.
<math>A_{ij} = \begin{cases} E_{ij}\;\;\mbox{edge}\;(i,j)~exist \mbox{ and } i<j\\
-E_{ji}\;\;\mbox{edge}\;(i,j)~exist \mbox{ and } i>j\\
0\;\;\;\;\mbox{otherwise} \end{cases},</math>
где <tex>E_{ij}</tex> {{- --}} независимые переменные}} {{Определение|definition = '''Совершенным паросочетанием (полным паросочетаниеммогут принимать произвольные значения)''' в графе <tex>G</tex> называется паросочетание, покрывающее все вершины <tex>G</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = В графе <tex>G</tex> существует [[Паросочетания:_основные_определения,_теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | совершенное паросочетание ]] тогда и только тогда, когда определитель матрицы Татта для <tex>G</tex> не равен нулю тождественно.
|proof =
<tex>det(A_{ij}A) = \sum\limits_\phi sign(\phi)E_A_{1\phi(1)}E_A_{2\phi(2)}...E_A_{n\phi(n)}</tex>
<br>
Пусть <tex>\Phi = \{\forall\phi | A_{1\phi(1)}A_{2\phi(2)}...A_{n\phi(n)} \ne 0\}</tex>
<br>
В противном случае в <tex>\forall G_\chi \exists</tex> цикл нечётной длины. Рассмотрим <tex>G'_\chi</tex>, полученный из <tex>G</tex> обратной ориентацией дуг в каком-нибудь цикле нечётной длины. Заметим, что <tex>\forall G'_\chi</tex> соответствует <tex>\chi' \in \Phi</tex>. При этом <tex>sign(\chi)</tex> = <tex>sign(\chi')</tex>, так как одна получается из другой за чётное число транспозиций. Однако <tex>\sum\limits_\chi A_{1\chi(1)}A_{2\chi(2)}...A_{n\chi(n)}</tex> = <tex>- \sum\limits_{\chi'} A_{1\chi'(1)}A_{2\chi'(2)}...A_{n\chi'(n)}</tex>, так как перенаправлено было нечётное число рёбер.
Таким образом, для <tex>\forall \chi,\chi'</tex> слагаемые, соответствующие им в выражении для <tex>det(A_{ij}A)</tex> сократятся. А так как в нём все слагаемые либо нулевые, либо <tex>\in \Phi</tex>, то <tex>det(A_{ij}A) = 0</tex>
}}
==Матрица Эдмондса==
Для случая, когда <tex>G</tex> {{- --}} двудольный, существует более простая матрица, аналогичная матрице Татта.
{{Определение
|definition = '''Матрицей Эдмондса''' (англ. '''Edmonds matrix''') для двудольного графа <tex>G</tex> с размерами долей <tex>n</tex>,<tex>m</tex> называется матрица размера <tex>n \times m</tex>
<math> D_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll}
E_{ij} & \mbox{edge}\;(i,j)\;exists \\
0 & \;else
\end{array},\right.</math>
где <tex>E_{ij}</tex> {{- --}} независимые переменные(могут принимать произвольные значения)
}}
{{Теорема
|statement = Ранг матрицы Эдмондса для графа <tex>G</tex> совпадает с размером [[Паросочетания:_основные_определения,_теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | максимального паросочетания ]] в этом графе
|proof = Рангом матрицы называется количество линейно независимых строчек/столбцов в ней. Или, что эквивалентно, размер наибольшего ненулевого минора.
Рассмотрим этот максимальный минор <tex>A_M</tex>. На нём матрицу Эдмондса легко дополнить до матрицы Татта, причём её определитель, очевидно, останется ненулевым. По ранее доказанной теореме, в графе, соответствующем <tex>A_M</tex> существует совершенное паросочетание, то есть покрывающее все его вершины. То есть мощности, равной размеру <tex>A_M</tex>.
Предположим, что существует паросочетание большей мощности. Однако тогда и соответствующий ему ненулевой (по теореме о матрице Татта) минор большего размера, чем <tex>A_M</tex>, что невозможно в силу выбора <tex>A_M</tex> максимальным.
}}
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Tutte_matrix Wikipedia {{---}} Tutte matrix]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Edmonds_matrix Wikipedia {{---}} Edmonds matrix]
*[http://e-maxx.ru/algo/tutte_matrix E-maxx {{---}} Матрица Татта]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о паросочетании]]
