Изменения

Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. При этом если переменная входит в формулу с отрицанием, отобразим это в графе. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\neg{x}</math>.

Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “истина” (учитываем отрицание, если оно есть). Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\overline{neg x}</math>, соответствующие переменные которых не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”(с учетом отрицания). Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида <math>x,\overline{neg x}</math>. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.