43
правки
Изменения
м
→Задача о независимом множестве является NP-трудной
Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. При этом если переменная входит в формулу с отрицанием, отобразим это в графе. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\neg x</math>.
<math>(\overline{neg x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{neg z}) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]]
Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “истина” (учитываем отрицание, если оно есть). Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие переменные которых не могут одновременно принимать значение “правда”“истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”“истина”(с учетом отрицания). Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”“истина”, значит вся формула будет принимать значение “правда”“истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===
В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.
