{{Задача|definition = '''Задача о коммивояжере''' (англ. ''Travelling salesman problem, TSP'') — задача, в которой коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?}}== Варианты решения ==[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах]]Так вот задача о коммивояжере относится к классу NP-полных задач. Поэтому, рассмотрим два варианта решения с экспоненциальным временем работы.==== Перебор перестановок ====Можно решить задачу перебором всевозможных перестановок. Для этого нужно сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин исходного графа, подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать минимальный из них. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>. Сложность алгоритма <tex>O({N!}\times{N})</tex>.==== Динамическое программирование по подмножествам (по маскам) ====Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершинам будут соответствовать города, а ребрам — дороги. Пусть в графе <tex> G=(V,E)</tex> <tex> N </tex>вершин, пронумерованных от <tex>0</tex> до <tex>N-1</tex> и каждое ребро <tex>(i, j) \in E </tex> имеет некоторый вес <tex> w(i,j)</tex>. Необходимо найти гамильтонов цикл, сумма весов по ребрам которого минимальна. #перенаправление [[ Гамильтоновы графы | Подробнее можно прочитать в этой статье.]]==== Оптимизация решения ====Пусть <tex>dp[mask][i]</tex> содержит булево значение — существует ли в подмножества <tex>mask</tex> гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>. Сама динамика будет такая: <br><tex>d[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}1&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\\bigvee_{mask[j]=1, (j, i) \in E}\limits d[mask \oplus 2^i][j] &;\ |mask| > 1,\ mask_i= 1 \\ 0&;\ otherwise\\\end{array}\right.</tex>Это решение требует <tex>O(2^nn)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом.Пусть теперь <tex>d'[mask]</tex> хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве <tex>mask</tex>, заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: <tex>d'[mask]</tex> будет равно <tex>\sum_{i \in [0..n-1]}\limits d[mask][i] \cdot 2 ^i </tex>. Для графа <tex>G</tex> выпишем <tex>n</tex> масок <tex>M_i</tex>, для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром в данной вершиной. То есть <tex>M_i = \sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^i \cdot ((i, j) \in E ? 1:0) </tex>.Тогда динамика перепишется следующим образом: <br><tex>d'[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}2^i&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\\sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^i \cdot ((d[mask \oplus 2^i] \& M_i) \neq 0?1:0) &;\ |mask| > 1 \\ 0&;\ otherwise\\\end{array}\right.</tex>Особое внимание следует уделить выражению <tex>d[mask \oplus 2^i] \& M_i</tex> . Первая часть выражения содержит подмножество вершин, для которых существует гамильтонов путь, заканчивающихся в соответствующих вершинах в подмножестве <tex>mask</tex> без вершины <tex>i</tex>, а вторая — подмножество вершин, связанных с <tex>i</tex> ребром. Если эти множества пересекаются хотя бы по одной вершине (их <tex>\&</tex> не равен <tex>0</tex>), то, как нетрудно понять, в <tex>mask</tex> существует гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.Окончательная проверка состоит в сравнении <tex>d[2^n - 1]</tex> c <tex>0</tex>.Это решение использует <tex>O(2^n)</tex> памяти и имеет асимптотику <tex>O(2^nn)</tex>.== См. также ==*[[Кратчайший путь в ациклическом графе]]*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]*[[Задача о рюкзаке]]*[[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]]*[[Гамильтоновы графы]]== Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_коммивояжёра Задача коммивояжера в русской википедии]*[http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden Задача коммивояжера в немецкой википедии]*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. ISBN 5-7940-0114-3*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование]]
