1302
правки
Изменения
Нет описания правки
Пусть задана [[Определение_булевой_функции|булева функция]] <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая [[Определение_булевой_функции|булева функция]] представима в виде [[Полином_Жегалкина|полинома Жегалкина]], притом единственным образом. Пусть <tex> i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1
\\ 1, \;\; i _{k}=0
\end{matrix}\right. </tex> . Тогда [[Полином_Жегалкина|полином Жегалкина]] можно записать как: <tex> f(x) = \bigoplus\limits_{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}</tex>, где <tex>\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}</tex>.
<br/>
Множество коэффициентов <tex>\{\alpha _{i}\}</tex> можно рассматривать как функцию <tex>\alpha</tex>, заданной на множестве индексов <tex> i \in \overline{1..n}</tex>, то есть <tex>\alpha: i \mapsto \alpha_{i}</tex>.
Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом: <tex> f(x) = \bigoplus \limits_{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; </tex> если <tex> \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; </tex> если <tex> \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; </tex> если <tex> \;\; i_{n}]</tex>.
Тут запись <tex>[x _{k} , \; </tex> если <tex> \; i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> i_{k} = 1 </tex>. Тогда если для какого-то <tex>x</tex>, <tex>i \succ x</tex> ,то в слагаемом будет существовать хотя бы один множитель, равный нулю, и такое слагаемое на сумму не повлияет.
Отсюда ясно, что <tex> f(x) = \bigoplus \limits_{i \preceq x} \alpha _{i} </tex>. <tex> (1) </tex><br/>
Найдем отображение <tex> f \mapsto \alpha</tex> (То есть такое, которое по заданной функции вычисляет значения всех коэффциентов).
