Изменения

Пусть <tex>G = \langle N, \Sigma, P, S \rangle</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная]] грамматика и <tex>w = a_1 a_2 w_0 w_1 ... a_nw_{n-1}</tex> {{---}} входная цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>.Объект вида <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex>, где <tex>A \rightarrow \alpha \beta </tex> — правило из <tex>P</tex> и <tex>0 \leqslant i \leqslant n</tex> — позиция в <tex>w</tex>, называется '''ситуацией''', относящейся к цепочке <tex>w</tex>, где '''<tex> \cdot </tex>''' {{---}} вспомогательный символ, который не явлется терминалом или нетерминалом ( <tex> \cdot \notin \Sigma \cup N</tex>).

'''Ситуации хранятся в множествах <tex>j</tex>-м списком ситуаций''' <tex>I_j</tex> для входной цепочки <tex>w = a_1 a_2 D_0,... a_n</tex>, где <tex>0 \leqslant j \leqslant D_{n-1}</tex>, называется множество называемых '''списками ситуаций '''. Причем наличие ситуации <tex>\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* a_{i+1} ... a_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_i \rbrace</tex>. То есть в <tex>\gamma \alpha j</tex> выводит часть -м списке ситуаций <tex>wD_j</tex> c первого по <tex>j</tex>-й символ.равносильно тому, что }} {{Лемма|statement = <tex>(\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] delta \in I_n) \Leftrightarrow w Sigma \in Lcup N : ((G)</tex>.|proof = Поскольку <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma S \delta</tex> (при <tex>\gamma = w_0...w_{i-1} A \delta = \varepsilon</tex>), из определения <tex>I_n</tex> получаем, что <tex>([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha wedge A \Rightarrow^* a_1 w_i... a_n = ww_{j-1})</tex>.

Последовательность списков ситуаций <tex>I_0D_0, I_1D_1, .., I_nD_{n-1}</tex> называется <b>списком разбора</b> для входной цепочки <tex>w</tex>.

Чтобы воспользоваться леммой, необходимо найти <tex>I_nD_n</tex> для <tex>w</tex>. Алгоритм Эрли является [[Динамическое программирование|динамическим алгоритмом]]: он последовательно строит список разбора, причём при построении <tex>I_jD_j</tex> используются <tex>I_0D_0, \ldots, I_D_{j}</tex> (то есть элементы списков с меньшими номерами и ситуации, содержащиеся в текущем списке на данный момент).

# Если <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a_w_{j} \beta, i] \in I_D_{j-1}</tex> (где <tex>a_jw_j</tex> — <tex>j</tex>-ый символ строки), то <tex>[A \rightarrow \alpha a_w_{j} \cdot \beta, i] \in I_jD_j</tex>.# Если <tex>[B \rightarrow \eta \cdot , ki] \in I_jD_j</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, ik] \in I_{k}D_i</tex>, то <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, ik] \in I_jD_j</tex>.# Если <tex>[B A \rightarrow \alpha \cdot A B \etabeta, ki] \in I_jD_{j} </tex> и <tex>(A B \rightarrow \betaeta) \in P</tex>, то <tex>[A B \rightarrow \cdot \betaeta, j] \in I_jD_{j}</tex>.

<font color=green>// Первое правило </font> '''function''' <tex>I_0\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex> : '''if''' <tex>j</tex> == <tex>\lbrace 0</tex> '''return''' '''for''' <tex>[S' A \rightarrow \alpha \cdot Sa \beta, 0i] \rbracein D_{j - 1} </tex> '''if''' <tex>a</tex> == <tex>w_{j - 1}</tex> # Правило (0) — инициализация useful_loop(0) <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i]</tex>

<font color=green>// Второе правило </font> '''function''' <tex>\mathtt{complete}(D, j, G, w)</tex>: '''for ''' <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i] \in D_{j = 1..n} </tex> '''for ''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a_{j} B \beta, ik] \in I_D_{j-1i}</tex> <tex>I_jD_{j}</tex> &<tex> \cup;</tex>= <tex>\{ [A \rightarrow \alpha a_{j} B \cdot \beta, ik] \}</tex> # Правило (1) useful_loop(j)

function useful_loop(j): do for <texfont color=green>[B \rightarrow \eta \cdot , k] \in I_j// Третье правило </texfont> for '''function''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in I_mathtt{kpredict}(D, j, G, w)</tex>: '''for''' <tex>I_j</tex> &cup;= <tex>\lbrace [A \rightarrow \alpha B \cdot B \beta, i] \rbracein D_{j} </tex> # Правило (2) '''for ''' <tex>[(B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, k] ) \in I_jP </tex> for <tex>\beta : (A \rightarrow \beta) \in PD_{j}</tex> <tex>I_j\cup</tex> &cup;= <tex>\lbrace [A B \rightarrow \cdot \betaeta, j] \rbrace</tex> # Правило (3) while на данной итерации какое-то множество изменилось

|statement = Приведенный алгоритм правильно строит все списки ситуаций.То есть алгоритм поддерживает инвариант <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in D_{j} \Longleftrightarrow \exists \delta \in \Sigma \cup N : ((S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta) \wedge A \Rightarrow^* w_i...w_{j-1})</tex>

<u> ''База (инициализация) индукции: '' <tex/u>\alpha = \varepsilon \Rightarrow^* \varepsilon <br/tex> и <tex>[S' \Rightarrow^* rightarrow \gamma cdot S , 0] \delta in D_0</tex> при .<texbr/><u>\gamma = \delta = \varepsilon ''Индукционный переход:'' </texu>.<br/>Индукционный переход: пусть в Пусть предположение верно для всех списков ситуаций с номерами меньше <tex> I_{0},...,I_{j} </tex> нет лишних ситуаций. Пусть включаем Разберемся, в результате применения какого правила ситуация <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> попала в <tex>I_D_{j}</tex>. Рассмотрим три случая:<br/>

1. Включаем по правилу <tex>(1)\mathtt{scan}</tex>.<br/>Тогда Это произошло, если <tex>\alpha = \alpha' a_a</tex>, <tex>a = w_{j-1} , </tex> и <tex> [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} a \beta, i] \in I_D_{j-1}</tex>. <br/>По предположению индукции <tex>\alphaS' \Rightarrow^* a_{i+1}w_0...a_w_{ji-1} A \delta</tex> и существуют <tex>\gammaalpha'\Rightarrow^* w_i...w_{j-2}</tex> и <tex>\delta' ,<br/tex> такие, что тогда в силу <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_a = w_{ij-1} </tex>. Значит, получаем <tex> \alpha = \alpha' a_{j} a \Rightarrow^* a_w_i...w_{i+j-2}w_{j-1}= w_i...a_w_{j-1} </tex> и при .<br/>Таким образом условия: <tex>\gamma = \gammaS', \delta = Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta'</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_jRightarrow^* w_i...w_{j-1}</tex>выполняются.

2. Включаем по правилу <tex>(2)\mathtt{predict}</tex>.<br/>Тогда По построению: <tex>\alpha = \alpha' B varepsilon </tex> и <tex>i=j</tex>, [A что автоматически влечет второй пункт утверждения.<br/>Кроме того <tex>\rightarrow \alphaexists i' \cdot B \beta, le i] \in I_{k}</tex> и ситуация <tex> [B A' \rightarrow \eta alpha ' \cdotA \delta ', ki'] \in I_{j} D_i</tex>. По , из чего по предположению, индукции следует <tex>\alphaS' \Rightarrow^* a_{i+1}w_0...a_w_{ki'-1}, A' \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j} delta ''</tex>, откуда и <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_w_{i+1'}...a_w_{ji-1} </tex>. Кроме того<br/>Получаем, существуют что <tex>S' \gammaRightarrow^* w_0...w_{i'-1} A'</tex> и <tex>\delta'' </tex> такие, что значит <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} \gammaalpha' A \delta', \gammadelta '' = a_1...a_{i} </tex>. Значит, при следовательно <tex>S' \gamma = \gammaRightarrow^* w_0...w_{i'-1} w_{i', }...w_{i-1} A \delta = ' \delta''</tex> , в итоге <tex>[A S' \rightarrow \alpha \cdot \beta, Rightarrow^* w_0...w_{i] -1} A \in I_jdelta</tex>, что нам и требовалось.

3. Включаем по правилу <tex>(3)\mathtt{complete}</tex>.<br/>Тогда По построению: <tex>\alpha = \varepsilon, alpha ' A' </tex> и <tex>\exists i = j', \delta : [B A \rightarrow \alpha' \cdot A ' \etabeta, ki] \in I_D_{ji'}, \wedge [A ' \Rightarrow rightarrow \eta \cdot, i'] \betain D_j</tex>. По предположению <br/>Cледовательно <tex>\alpha = \alpha' A' \Rightarrow^* a_w_i...w_{k+i'-1} w_{i'}...a_w_{ij}</tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1= w_i...a_w_{kj-1} </tex>. Значит, при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \eta \delta' </tex> выполнено <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>что дает нам второй пункт утверждения, следовательно <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \betaа так как первый пункт следует из индукционного предположения, i] \in I_j</tex>все хорошо.

=====В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат:=====Для всех наборов <b><tex>\tau = \langle \alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j \rangleLongleftarrow</tex> нужно доказать, что, если </b><br/>В обратную сторону будем доказывать индукцией по суммарной длине вывода <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1w_0...a_w_{i-1}, (A \rightarrow \alpha \beta) \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}delta</tex> из <tex>S'</tex> и <tex>w_i...a_w_{j-1}</tex>, то алгоритм добавит из <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в . После чего примениминдукцию по длине вывода <tex> I_w_i...w_{j-1}</tex> из <tex>\alpha</tex>.<br/>Рассмотрим три случая последнего символа <tex>\alpha</tex>:

''Рангом набора'' 1. <tex> \tau </tex> называется <tex> alpha = \tau_{Salpha '}(\tau) + 2(j + \tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau))a</tex>, где тогда <tex>\tau_a = w_{S'j-1}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода и <tex>S\alpha ' \Rightarrow^* \gamma A \delta w_i...w_{j-2}</tex>, .<br/>По предположению индукции: <tex>[A \tau_{rightarrow \gamma}(alpha ' \tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>cdot a \gamma beta, i] \Rightarrow^* a_1...a_in D_{ij-1}</tex>, а отсюда по правилу <tex>\tau_mathtt{\alphascan}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода получаем <tex>[A \rightarrow \alpha ' a \Rightarrow^* a_{cdot \beta, i+1}...a_] \in D_{j}</tex>.

Докажем утверждение индукцией по рангу набора2.<br/>База: если ранг <tex>\taualpha = \alpha ' B</tex> равен 0, то тогда <tex>\tau_exists i' : \alpha ' \Rightarrow^* w_i...w_{Si'-1} = \tau_wedge B ' \Rightarrow^* w_{\gammai'} = \tau_...w_{\alphaj-1} = j = i = 0</tex>. Значит, <tex>A = S'<br/tex>, Тогда имеем <tex>[A \rightarrow \alpha = ' a \gamma = cdot \delta = beta, i] \varepsilon in D_{j}</tex>, . Также можно записать <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \beta = S delta</tex>. При инициализации такая ситуация , как <tex>[S' \rightarrow Rightarrow^* w_0...w_{i-1} w_i...w_{i'-1}B \beta \cdot S, 0]delta</tex> будет добавлена в ,а также <tex>I_0B \rightarrow \eta \wedge \eta \rightarrow w_{i'}...w_{j-1}</tex>.<br/>Индукционный переход:пусть ранг Применяя индукцию по второму параметру получим <tex>[B \taurightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j</tex> равен , откуда по правилу <tex>r > 0\mathtt{complete}</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора получаем <tex>[A \taurightarrow \alpha ' B \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>. Для этого рассмотрим три случая:

13. <tex>\alpha= \varepsilon </tex>, тогда <tex>i=j</tex> оканчивается терминалом.<br/>Тогда либо <tex>i = 0 \alpha wedge A = S \wedge \delta = \alpha' cvarepsilon</tex>. , что доказывает базу индукции,<br/>либо вывод можно записать в виде <tex>\alpha S' \Rightarrow^*a_w_0...w{i+'-1}w_{i'}...a_w{ji-1}</tex>, значит <tex>c A \delta ' \delta '' = a_w_0...w_{ji-1}A \delta</tex>. Рассмотрим набор для некоторого правила <tex>\tau(A' = \langle \alpharightarrow w_{i', a_}...w_{ji-1} \beta, \gamma, A \delta, A, i, j-1 ') \rangle in P</tex>. <br/>Отсюда по предположению индукции <tex>([A ' \rightarrow \alphacdot w_{i' a_}...w_{ji-1} A \beta) delta ', i'] \in PD_{i'}</tex>, следовательно ранг что после нескольких применений правила <tex>\tau'mathtt{scan}</tex> равен приводит к <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{S[A'}(\tau) = \tau_rightarrow w_{Si'}(\tau'), \tau_...w_{\gammai-1}(\tau) = cdot A \tau_{\gamma}(\taudelta '), i'] \tau_in D_{\alphai}(\tau) = \tau_{\alpha}(\tau')</tex>. Значит, после чего по предположению правилу <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_mathtt{j-1predict}</tex>, и получим <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_\in D_{j}</tex> по правилу <tex>(1)</tex>, что и требовалось.

* <tex>S \rightarrow T + S</tex>;* <tex>S \rightarrow T </tex>;* <tex>T \rightarrow F * T</tex>;* <tex>T \rightarrow F</tex>;* <tex>F \rightarrow ( S )</tex>;* <tex>F \rightarrow a</tex>.

!<tex>I_0D_0</tex>

!<tex>I_1D_1</tex>

!<tex>I_2D_2</tex>

!<tex>I_3D_3</tex>

!<tex>I_4D_4</tex>

!<tex>I_5D_5</tex>

Так как <tex>[S' \rightarrow S \cdot , 0] \in I_5D_5</tex>, то <tex>w \in L(G) </tex>.<br> ==См. также==* [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ]]* [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики]]

==ЛитератураИсточники информации==''*[http://lpcs.math.msu.su/~sk/lehre/fivt2013/Earley.pdf Алексей Сорокин {{---}} Алгоритм Эрли]* Ахо А., Ульман Д.'' {{---}} Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — {{---}} М.:«Мир», 1978. С. 358 — 364.