Изменения

Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n</tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:

Число <tex dpi=190>\fracdfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;.

Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> — вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... \ldots w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:

<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex>

*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le leqslant z \}</tex> — полупространство;

*<tex>[n] := \{1,2...\ldots n\}</tex>;*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2...\ldots n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули;

Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...\ldots +x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.

:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex>

:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le leqslant x \cdot 1_{[n]} \le leqslant m+1 \} \cap I^{n}</tex>

:<tex>= \fracdfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex>:<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> :<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль):<tex> = </tex> <tex dpi=190>\fracdfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)

#:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \ge geqslant 1,\ 0 \le leqslant k \le leqslant n-1. \, </tex>

#:<tex>\sum\limits_{m=0}^{n}</tex><tex dpi=190> \left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = n!,\ n \ge geqslant 0, \,</tex>

# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\fracdfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.

'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>

|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем

Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le leqslant n \le leqslant m \le leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.