81
правка
Изменения
Нет описания правки
'''Алгоритм Джонсона''' находит кратчайшие пути между всеми парами вершин (англ. ''All Pairs Shortest Path'') во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.
== Алгоритм ==
=== Описание ===
Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <tex> O(V^2\log(V) + VE) </tex>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее [[Алгоритм Флойда|алгоритма Флойда]]. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.
В этом алгоритме используется метод '''изменения веса''' (англ. ''reweighting''). Суть его заключается в том, что для заданного графа <tex> G </tex> строится новая весовая функция <tex> \omega_\varphi </tex>, неотрицательная для всех ребер графа <tex> G </tex> и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой '''потенциальной''' функции.
Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \omega_\varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.
Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-— Беллмана ]] из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры ]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.
=== Сохранение кратчайших путей ===
|proof=
:Рассмотрим путь <tex>P: \;u_0 \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow ... \ldots \rightarrow u_k </tex>
:Его вес с новой весовой функцией равен <tex>\omega_\varphi(P) = \omega_\varphi(u_0u_1) + \omega_\varphi(u_1u_2) + ... \ldots + \omega_\varphi(u_{k-1}u_k) </tex>.
:Вставим определение функции <tex> \omega_\varphi : \omega_\varphi(P) = \varphi(u_0) + \omega(u_0u_1) - \varphi(u_1) + ... \ldots + \varphi(u_{k-1}) + \omega(u_{k-1}u_k) - \varphi(u_k) </tex>
:Заметим, что потенциалы все промежуточных вершин в пути сократятся. <tex> \omega_\varphi(P) = \varphi(u_0) + \omega(P) - \varphi(u_k)</tex>
|proof=
<tex>\Leftarrow </tex>: Рассмотрим произвольный <tex>C</tex> - — цикл в графе <tex>G</tex>
:По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) - \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \geqslant 0</tex>
Предварительно построим граф <tex>G' = (V',\;E')</tex>, где <tex>V' = V \cup \{s\}</tex>, <tex>s \not\in V</tex>, а <tex>E' = E \cup \{(s,\;v): \omega(s, v) = 0,\ v \in V \}</tex>
'''function''' Johnson(G): '''int[][]''' '''if''' Bellman_Ford<tex>(G',\;\omega,\;s)</tex> == FALSE '''then''' print "Входной граф содержит цикл с отрицательным весом" '''else''' '''for''' <tex>v \in V'</tex>
<tex>\varphi(v)</tex> = <tex>\delta(s,\;v)</tex> <font color = green>//<tex>\delta(s,\;v)</tex> вычислено алгоритмом Беллмана — Форда</font>
Итого, в начале алгоритм Форда-— Беллмана либо строит потенциальную функцию такую, что после перевзвешивания все веса ребер будут неотрицательны, либо выдает сообщение о том, что в графе присутствует отрицательный цикл.
Затем из каждой вершины запускается алгоритм Дейкстры для составления искомой матрицы. Так как все веса ребер теперь неотрицательны, алгоритм Дейкстры будет работать корректно. А поскольку перевзвешивание таково, что кратчайшие пути относительно обеих весовых функций совпадают, алгоритм Джонсона в итоге корректно найдет все кратчайшие пути между всеми парами вершин.
* [[Алгоритм Форда-Беллмана]]
* [[Алгоритм Флойда]]
== Источники информации ==
* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ. 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-paths/johnson-2001 Визуализатор алгоритма]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]
