1302
правки
Изменения
→Трактовки и другие задачи
== Трактовки и другие задачи ==
Выведенную ранее [[Формула Тейлора для произвольной функции|формулу Тейлора ]] можно трактовать следующим образом:
«Дано <tex>f(x)</tex>. Найти полином <tex>T_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что <tex>f^{(k)}(x_0) = T_n^{(k)}(x_0), k = \overline{0, n}</tex>».
Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема на <tex>\langle a; b\rangle</tex>. На этом промежутке задана система узлов. Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство
<tex>f(x) = L_n(x) + \frac{f^{n + 1}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>, где <tex>c_x</tex> — некоторая точка из <tex>\langle a; b \rangle</tex>, зависящая от <tex>x</tex>.
|proof=
Итак, при выбранном <tex>k</tex> будет <tex>g(x_j) = 0</tex>, <tex>g(x) = 0</tex>, то есть <tex>g</tex> принимает нулевые значения в <tex>n + 2</tex> точках. Очевидно,
из узлов и точки <tex>x</tex> можно сделать <tex>n + 1</tex> последовательный отрезок. На конце каждого из них <tex>g</tex> принимает значение <tex>0</tex>.
Значит, по теореме Ролля на каждом из них найдётся по корню [[Дифференциал и производная|производной]]. Из полученных корней можно сделать <tex>n</tex> отрезков,
на каждом из них по теореме Ролля найдётся по корню второй производной… В конце концов останется один отрезок, границами которого
будут корни <tex>g^{(n)}</tex>. Тогда по теореме Ролля на этом отрезке найдётся корень <tex>g^{(n + 1)}</tex>. Его и обозначим за <tex>c_x</tex>.
