1302
правки
Изменения
dpi = 150
{{Утверждение
|statement=
<texdpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>
|proof=
[[file:Sin1.png|thumb|300px]]
В частности, при <tex>1</tex>, длина дуги совпадает с величиной угла.
<texdpi= "150">0 \leq x \le \frac\pi2</tex>
Сектор <tex>ADB \subset \triangle AOD</tex>
<tex>\sin x = |BC| \leq AB < \breve{AB} = x</tex>
<texdpi= "150">\sin x < x \Rightarrow \frac{\sin x}x < 1</tex>. Запомним этот факт.
Обозначим за <tex>SECT_{AOB}</tex> площадь сектора <tex>{AOB}</tex>. Тогда
<texdpi= "150">\frac{SECT_{AOB}}{x/2} \leq S_{\triangle AOD}</tex>,<texdpi= "150">\frac12 tg x = \frac12 \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \cos x \leq \frac{\sin x}{x}</tex>
Но тогда, <texdpi= "150">\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</tex>.
Но так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1</tex>
Тогда <texdpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>.
}}
