Изменения
Дописал до места, где вводятся производящие функции
== Постановка задачи ==
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный зарактер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью инерполяционного интерполяционного полинома:
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.
Но полином непрерывен, а, значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.
{{Теорема
|aboutauthor=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
|proof=
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
Заметим, что <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} C_n^k x^k (1 - x)^{n - k} = \left[ x + (1 - x) \right ] ^ n = 1, \qquad \forall x \in [0; 1]\mathbb{R}</tex>.
Далее, для сокращения записи положим <tex>P_{n, k}(x) = C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>.
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x) P_{n, k}(x), \qquad f(x) - B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left(f(x) - f \left( \frac k n \right ) \right ) P_{n, k}(x)</tex>.
:<tex>\forall x', x'' \in [0; 1] \Rightarrow |f(x'')-f(x')| \le \omega(f, |x''-x'|)</tex>, где <tex>\omega(f, x)</tex> - [[модуль непрерывности функции]] <tex>f</tex>.
:<tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le \sum\limits_{k = 0}^{n} \left |f(x) - f\left ( \frac k n \right ) \right | P_{n, k}(x) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|)</tex>.
Выше мы доказали, что <tex>\sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) = 1</tex>, поэтому к последней сумме применима теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega^*(f \left|x - \frac kn\right|) \le</tex> (по [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенству Йенсена]]) <tex>\omega^*\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right) \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>
Итак, <tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>. Оценим сумму в правой части сверху, тогда при замене суммы оценкой правая часть только возрастет(в силу возрастания модуля непрерывности).
По [[Неравенства_Гёльдера,_Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| \sqrt{P_{n, k}(x)}\cdot \sqrt{P_{n, k}(x)}</tex> <tex>\le \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)} \cdot \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)} = \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}</tex>
Вставим полученное неравенство в оценку: <tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega \left( f, \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}\,\right)</tex> (все эти преобразования были нужны, потому что суммы с модулем трудно сворачиваются).
Покажем теперь с помощью метода производящих функций, что <tex dpi="125">\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x) = \frac{x(1-x)}n</tex>
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
