Изменения
Нет описания правки
# Предложите алгоритм восстановления наибольшей возрастающей подпоследовательности по функции ДП, вычисление которой было предложено на лекции за $O(n \log{n})$ с $O(n)$ дополнительной памяти.
# Задана последовательность. Про каждое $i$ определите одно из трех: элемент $a_i$ не может входить ни в одну НВП, элемент $a_i$ входит хотя бы в одну НВП, элемент $a_i$ входит во все НВП за $O(n \log{n})$.
# Заданы две последовательности $a$ и $b$. Подпоследовательность $c$ называется общей для $a$ и $b$, если $c$ является подпоследовательностью $a$ и подпоследовательностью $b$. Найдите наибольшую общую подпоследовательность $a$ и $b$ за время $O(|a| \cdot |b|)$ и памятью $oO((|a| \cdot + |b|)^ {2 - \epsilon})$, для некоторого $\epsilon > 0$.
# Задача о рюкзаке. Заданы $n$ предметов, для каждого известен вес $w_i$ и цены $p_i$. Вам нужно выбрать подмножество предметов суммарным весом не более $W$ с максимальной суммарной ценой. Найдите это подмножество за время $O(W \cdot n)$ и память $O(W)$.
# Подпалиндромом последовательности будем называть подпоследовательность $a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots, a_{i_k}$, в которой для любого $j$ выполняется $a_{i_j} = a_{i_{k-j+1}}$. Докажите, что длина максимального подпалиндрома последовательности $a$ равна длине наибольшей общей подпоследовательности $a$ и $a^r$, где $a^r$ {{---}} это развернутая последовательность $a$ ($a^r_i = a_{|a| - i + 1}$).
# Покажите, что если решить задачу о максимальном подпалиндроме, использовав алгоритм поиска наибольшей общей подпоследовательности, как в предыдущем задании, то алгоритм может выдать подпоследовательность, которая не является палиндромом. Предложите алгоритм, который находит максимальный подпалиндром последовательности $a$ за время и память $O(|a|^2)$.
# $a$ {{---}} последовательность длины $n$ из различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что произведение длин наибольшей возрастающей и наибольшей убывающей подпоследовательностей в $a$ не меньше $n$.
# Заданы две последовательности $a$ и $b$. Числа в последовательности $a$ различны. Найдите наибольшую общую подпоследовательность $a$ и $b$ за время и память $O((|a| + |b|) \log{(|a| + |b|)})$.
# Заданы $n$ предметов, каждый весом $w_i$. Известно, что за один раз вы можете унести предметы, суммарным весом не более $S$. Какое минимальное число подходов вам нужно сделать, чтобы унести все предметы? Решать за $O(3^n)$.
# Заданы $n$ различных натуральных чисел. Посчитать число перестановок этих чисел, что НОД любых двух соседних не меньше $d$ за $O(n^2 2^n)$.
</wikitex>
