1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Так как a {{---}} предельная точка A, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то f(a) нас не интересует.
<wikitex>
Например: $\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a$ {{---}} предельная точка.
:$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon $
:{{TODO|t=что-то обрезано вначале}} $a \in A, \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$, тогда $f$ непрерывна в точке $a$.
Если $f$ имеет предел, то в ситуации общих МП:
1) Предел сложного отображения.
$ A \subset X, B \subset Y, Z. \; X, Y, Z $ {{---}} МП, у каждого своя метрика. a {{---}} предельная точка A, $ b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$, тогда b предельная у WTF?? при этом:
:$g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) $
:$Z = g(f(x))$
:$f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A$
:$g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): $
:$\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $
:$f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $, а тогда $y = f(x) $
:$\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d $( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) $\Rightarrow$ сложная фукнция от двух непрерывных - непрерывна.
</wikitex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
