1632
правки
Изменения
м
Лекция от 20 сентября 2010.[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
rollbackEdits.php mass rollback
== Определения ==
{{Определение
|definition=
Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что то они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
}}
{{Определение|definition=[[Множества|Множество]] называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.}}
{{Определение
}}
<tex> A = \{a_1, a_2, ... \dots , a_n \dots \} </tex> {{---}} счетное множество.
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
== Мощность Q ==
{{Утверждение
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> {{---}} также бесконечное множество.
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется до бесконечности. Тогда мы получим <tex> B = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} \subset A </tex> {{---}} счетное множество. {{TODO|t=(ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)}}
}}
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> {{---}} совокупность попарно различных элементов, то это {{---}} счетное множество.
Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:
{{Утверждение
|statement=
|proof=
Выпишем все элементы этих множествв таблицу: <tex>\ ||a^i_j||</tex>, где <tex>\ a^i_j \in A_i,\ i, j \in \mathbb N </tex>
<tex> ||a^i_j||, a^i_j \in A_i, i \in \mathbb N \\ \\
\begin{pmatrix}
a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ a^4_1 & a^4_2 & a^4_3 & \cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots ddots
\end{pmatrix} </tex>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^2_1 3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots
\end{pmatrix} </tex>
Таким образом мы установили биекцию между <tex>\mathbb N </tex> и <tex>\ \bigcup\limits_n A_n </tex>, то есть <tex>\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex> , что и требовалось доказать.
}}
В частности, множество рациональных чисел <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно.
== Континуум ==
{{Определение
|definition=
Множество <tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумомконтинуумом''.
}}
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n , ... \} </tex>
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
== Мощность R ==
{{Утверждение
Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
<tex> x \leftrightarrow (x * \cdot \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) = \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
}}
Так как <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно. <tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум. [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
