Изменения

Введем некоторые обозначения для удобства. За <tex> \mathrm{edges } </tex> обозначим список всех ребёр дерева. Для всех работ <tex>i = 1, ...\ldots, n</tex> обозначим за <tex>S(i)</tex> всех потомков <tex>i</tex> в дереве зависимостей, включая саму работу <tex>i</tex>, введём новый параметр работы <tex dpi = 150>q_i = \fracdfrac{w_i}{p_i}</tex>.

Для подмножества работ <tex>I \subseteq \{1, ...\ldots, n\}</tex> определим:

<tex dpi = 150>w(I) = \sum\limits_{i \in I} w_i, p(I) = \sum\limits_{i \in I} p_i, q(I) = \fracdfrac{w(I)}{p(I)}</tex>

Два непересекающихся множества работ <tex>I, J \subseteq \{1, ...\ldots, n\}</tex> будем называть '''параллельными''' <tex>(I \sim J)</tex>, если для всех <tex>i \in I, j \in J</tex> выполняется: <tex>i</tex> не является ни предком, ни потомком <tex>j</tex>. Если множества состоят из одной работы <tex>I = \{i\}, \ J = \{j\}</tex>, будем писать <tex>i \sim j</tex>. Каждое расписание представлено перестановкой <tex>\pi</tex>.

:<tex>(a)~ I \sim J \Rightarrow q(I) \geqslant q(J)</tex> :<tex>(b)</tex> Если <tex>I \sim J</tex> и <tex>q(I) = q(J)</tex>, то <tex>\pi'</tex> {{---}} оптимальное расписание.

<tex>(a)</tex> Пусть <tex>f = \sum w_i C_i</tex>. Так как <tex>\pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, то <tex>f(\pi) \leqslant f(\pi')</tex>. Таким образом:

:Пусть <tex>f = \sum w_i C_i</tex>. Так как <tex>0 \leqslant pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, то <tex>f(\pi') - \leqslant f(\pi) = w(I) p(J) - w(J) p(I')</tex>. Таким образом:

Поделим на :<tex>p0 \leqslant f(\pi') - f(\pi) = w(I)p(J) - w(J) p(I)</tex>:

:Поделим на <tex dpi = 150>q(I) = \frac{w(I)}{p(I)} \geqslant \frac{w(J)}{p(J)} = q(J) </tex> :

:<tex>q(I) = \dfrac{w(I)}{p(I)} \geqslant \dfrac{w(J)}{p(J)} = q(J) </tex>  <tex>(b)</tex>  :Если <tex>q(I) = q(J) </tex>, то <tex>f(\pi) = f(\pi') </tex>, следовательно расписание <tex>\pi'</tex> оптимально.

|statement = Пусть <tex>i, ~j</tex> работы такие, что <tex>i</tex> {{---}} предок <tex>j</tex>, и <tex> q_j = \max \{q_k \mid ~ (i, k) \in \mathrm{edges } \}</tex>. <br>

:Работа <tex> j </tex> не является потомком работы <tex> k </tex> , иначе у неё было бы <tex>2</tex> предка. Следовательно, <tex> k \sim j </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] <tex> q(k) \geqslant q(j) </tex>, а по условию выбора <tex> j </tex> имеем <tex> q(j) \geqslant q(k) </tex>, значит, <tex> q(j) = q(k) </tex>. Опять же из [[#lemma1 | леммы]] следует, что работы <tex> k </tex> и <tex> j </tex> можно поменять местами, не ухудшив расписание. Это противоречит тому, что мы выбрали минимальное <tex> l </tex>.

:Пусть <tex> h </tex> будет последней работой в расписании между <tex> i </tex> и <tex> j </tex> <tex> \ ( </tex>включая работу <tex> i) </tex>, которая принадлежит <tex> S(i) </tex>, то есть для всех работ <tex> r </tex> в множестве <tex> K </tex>, назначенных между <tex> h </tex> и <tex> j </tex>, имеем, что <tex> r \not\in S(i) </tex>. Так как наш [[Основные определения теории графов | граф]] зависимостей работ является исходящим деревом и <tex>(i, j) \in \mathrm{edges } </tex>, то любой предок работы <tex> j </tex> также является и предком работы <tex> i </tex>. Поэтому никакая работа из <tex> K </tex> не является предком <tex> j </tex> <tex>\ (</tex>иначе бы она не смогла стоять после <tex> i) </tex> или потомком, значит, <tex> K \sim j </tex>. Из этого следует, что <tex> q(K) \geqslant q(j) </tex>.

:Работа <tex> h \in S(i) </tex> не является потомком какой-либо работы <tex> r \in K </tex>. В противном же случае получалось, что <tex> r \in S(i) </tex>, значит, <tex> h </tex> является не последней работой из <tex> S(i) </tex> между <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Поэтому <tex> h \sim K </tex>, откуда тут же следует, что <tex> q(h) \geqslant q(K) \geqslant q(j) </tex>. По определению <tex> j </tex> имеем, что <tex> q(j) \geqslant q(h) </tex>, следовательно <tex> q(j) = q(h) = q(K) </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] мы можем поменять блоки <tex> K </tex> и <tex> j </tex> не нарушив оптимальности расписания.