17
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=
о паросочетании в графе замен
|statement= Пусть <tex>M = \langle X,\mathcal{I } \rangle </tex> — матроид. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex> {{---}} независимы, причем <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>D_{M}(\mathcal{I})</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.
|proof=
*: В случае, когда <tex>|A \bigtriangleup B| = 0 </tex>, имеем пустое паросочетание.
* '''Переход
*:Считаем, что утверждение <tex>|A \bigtriangleup B| = N</tex> — утверждение верно.
*: Пусть <tex>k = |A| = |B|</tex> и <tex>|A \bigtriangleup B| \geqslant 1</tex>.
*:Рассмотрим матроид <tex>M_1 = \langle X, \{ A \mid A \in \mathcal{I}, A \leqslant k \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex> и , <tex>|A| = |B|</tex> и матроид <tex>M_1</tex> не содержит множеств больших, чем <tex>A</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>. По [[Теорема о базах|сильной теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : (A \setminus x) \cup y \in \mathcal{I}</tex> и <tex>(B \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}</tex> из этого следует, что множество <tex>A' = A - x + y </tex> и <tex>B' = B + x - y</tex> являются независимыми, а также базами <tex>M_1</tex>. И их <tex>|A' \bigtriangleup B'| < |A \bigtriangleup B|</tex>. Значит мы умеем переходить от <tex>|A' \bigtriangleup B'| = N</tex> к <tex>|A \bigtriangleup B| = N+1</tex>. По предположению индукции у <tex> |A' \bigtriangleup B'|</tex> есть полное паросочетание.
*:По [[Теорема о базах|теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : (A \setminus x) \cup y
\in \mathcal{I}</tex>, следовательно по определению графа <tex>D_M(A) \Rightarrow (x, y) \in D_M(A)</tex>. Тогда <tex>N \cup {(x, y)}</tex> составляет полное паросочетание на <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>, а значит индукционный переход справедлив.
}}
