Изменения

<tex dpi = "200"> O \mid p_{i,j} {Теорема|statement= 1, d_i \mid Задача о проверке на пустоту пересечения двух КС- </tex>{{Задачаграмматик неразрешима.|definitionproof=Дано Пусть <tex>m</tex> одинаковых станковA = \{ (G_1, которые работают параллельно, и <tex>nG_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}</tex> работ, которые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Любая работа на любом станке выполняется единицу времени. Для каждой работы есть время окончания Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>d_i</tex> {\overline{---}} время, до которого она должна быть выполнена. Необходимо проверить, существует ли расписание, при котором все работы будут выполнены вовремя.}A} == Описание алгоритма ===== Идея ===Заметим, что если <tex>d_i < m</tex>, то очевиднотаким образом показав, что <tex>C_i > d_i</tex>, следовательно, расписания не существуетдополнение проблемы неразрешимо. Поэтому будем полагатьТак как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], что <tex>m \leqslant d_i</tex> для <tex>i = 1 \ldots n</tex>то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.

Определим Для любого экземпляра ПСП <tex>T = \max\limits_{i \in [1(x_1, x_2, ..., n]}d_ix_n)</tex> {{---}} количество временных интервалов и <tex>[t - 1(y_1, t]</tex>y_2, где <tex>t = 1 \ldots T</tex>. Будем обозначать <tex>[t - 1.., t]y_n)</tex> как над алфавитом <tex>t\Sigma</tex>. Для каждого из них мы можем назначить не более можно подобрать символ <tex>m\# \notin \Sigma</tex> работ (по одной на каждый станок). Для каждой работы каждого экземпляра построим грамматики:* <tex>iG_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a</tex> будем назначать времена обработки на каждой из машин следующим образом: на машине для всех <tex>ma \in \Sigma</tex> работа займет временной интервал . Тогда <tex>d_iL(G_1) = \{ w\#w^R \mid w \in \Sigma^* \}</tex>, на машине где обозначение <tex>(m - 1)w^R</tex> {{---}} интервал разворот <tex>(d_i - 1)w</tex> и так далее, на машине .* <tex>1G_2 : S \rightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i</tex> работа займет временной интервал для всех <tex>d_i - m + 1</tex>. В случае коллизий, то есть если найдется временной интервал <tex>k > i = 1</tex>, содержащий <tex>m + 1</tex> работу2, возьмем минимальный такой <tex>k\dots n</tex> и перенесем лишнюю работу из него на ту же машину, но на один временной интервал левее. Будем повторять этот процесс, пока необходимо (и пока Тогда <tex>k > 1</tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m}). Таким образом^R \mid i_1, только первый временной интервал может содержать более <tex>m</tex> работ. Причем это может произойти тогда и только тогдаi_2, когда задача не имеет решения\dots i_m \in \{ 1, то есть не существует расписания2, при котором все работы будут выполнены вовремя.=== Псевдокод ===Определим <tex>h(t)</tex> {{---\dots n \}, m \geqslant 1 \} количество работ во временном интервале <tex>t</tex>.

'''void''' checkExistenceOfSchedule('''int'''* <tex>d</tex>): <tex>T = \max\{d_i \mid i = 1 \ldots n\}</tex> '''for''' <tex>t = 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex>h(t) = 0</tex> '''for''' <tex>i = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>j = d_i</tex> '''to''' <tex>d_i - m + 1Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то </tex> <font color=green>L(1G_2)</font> <tex>h(j) = h(j) + 1</tex> '''while''' содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\exists k > 1#w^R</tex> '''and''' <tex>h(k) = m + 1, поэтому </tex> <font color=green>L(2G_1)</font> '''find''' <tex>\min\{k_0 \mid hcap L(k_0G_2) = m + 1\}</tex> <tex>h(k_0 - 1) = h(k_0 - 1) + 1</tex> <tex>h(k_0) = m</tex> '''if''' <tex>h(1) ne \leqslant mvarnothing</tex> '''return''' true '''else''' '''return''' false''Замечание:'' если расписание существует, то оно может быть вычислено данным алгоритмоми наоборот, если добавить в цикл (1) функциюон не имеет решения, отвечающую за добавление работы то <tex>i</tex> на момент <tex>j</tex> в расписании для соответствующей машины и в цикл L(2G_2) функцию, отвечающую за перемещение работы, которой нет во временном интервале <tex>k_0 - 1</tex>не содержит строк такого вида, но которая есть в соответственно <tex>k_0L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing</tex>, на момент <tex>k_0 - 1</tex> в той же машине (этот шаг будет обоснован далее в доказательстве корректности).

=== Асимптотика ===Покажем, что данный алгоритм может быть реализован за время <tex>O(nm)</tex>.<br>Для начала рассмотрим следующий вопрос: пусть <tex>U</tex> {{---}} множество работ, для которого существует расписание, в котором отсутствуют опаздывающие работы, пусть <tex>i</tex> {{---}} работа, не принадлежащая <tex>U</tex>, для которой выполняется неравенство <tex>d_i \leqslant d_j</tex>для любой <tex>j \in U</tex>. Можно ли построить расписание для множества <tex>V = U \cup \{i\}</tex>, в котором так же будут отсутствовать опаздывающие работы.<br>Введем несколько обозначений. Вектора <tex>h</tex>, соответствующие множествам <tex>U</tex> и <tex>V</tex> обозначим как <tex>h^U</tex> и <tex>h^V</tex> соответственно. <tex>x(d_i)</tex> {{---}} количество временных интервалов <tex>t</tex> со свойствами*<tex>d_i - m + 1 \leqslant t \leqslant d_i</tex>,*<tex>h^U(t) < m</tex>.Будем говорить, что работы могут быть выполнены ''вовремя'', если для них существует расписание, в котором эти работы успевают выполниться без опозданий. {{Лемма|statement=Пусть даны работы <tex>1, 2 \ldots i</tex> с дедлайнами <tex>d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_i</tex>, <tex>U = \{1, 2, \ldots i - 1\}</tex> и Таким образом мы свели проблему соответствий Поста к <tex>V = U \cup \overline{i\A}</tex>. Тогда для всех работ <tex>j = d_i - m + 1 \ldots d_i</tex>, для которых <tex>h^U(j) < m</tex>, будет верно, что <tex>h^V(j) = h^U(j) + 1</tex>.|proof=Рассмотрим вектора <tex>h^U</tex> и <tex>h^V</tex> после <tex>i - 1</tex> и <tex>i</tex> итераций алгоритма. Заметим, что значения вектора <tex>h</tex>, не превосходящие <tex>m</tex>, то есть <tex>h(j) < m</tex>, никогда не уменьшаются. Следовательноследовательно, если <tex>d_i задача о проверке на пустоту пересечения двух КС- m + 1 \leqslant j \leqslant d_i</tex> и <tex>h^U(j) < m</tex>, то <tex>h^V(j) \geqslant h^U(j) + 1</tex>. Чтобы показать, что ситуация, когда при тех же условиях <tex>h^V(j) \geqslant h^U(j) + 2</tex>, невозможна, рассмотрим расписание, построенное алгоритмомграмматик неразрешима.

== Доказательство корректности ==Таким образом, мы имеем:{{ТеоремаУтверждение|statement=Для множества работ с дедлайнами Пусть дана грамматика <tex>d_1, d_2, \ldots d_nG</tex> задача имеет решение тогда и только тогда, когда <tex>hL(1G) \leqslant m= L</tex>.Тогда следующие задачи неразрешимы:|proof=# Содержит ли <tex>\RightarrowL</tex><br>Если задача имеет решение, то очевидно, что первый временной интервал не может быть переполнентандемный повтор.<br><tex>\Leftarrow</tex> Изначально алгоритм присваивает все стадии обработки каждой работы <tex>i</tex> (то есть обработку на каждом станке) попарно различным временным интервалам. Если <tex>\exists k > 1 : h(k) = m + 1</tex> и <tex>h(k - 1) \leqslant m</tex>, то это значит, что существует как минимум одна работа, которая назначена временному интервалу <tex>k</tex>, но которой нет во временном интервале <tex>k - 1</tex>. Следовательно, после перемещения вектор <tex>h</tex> по-прежнему будет удовлетворять условию, что каждая работа принадлежит # Содержит ли <tex>mL</tex> разным временным интервалам, причем в каждом из них она будет выполняться на разных машинах, так как при перемещении работ машины остаются прежними. Таким образом, если <tex>h(1) \leqslant m</tex>, то <tex>h(t) \leqslant m</tex>, где <tex>t = 1 \ldots T</tex>, то есть существует решение, при котором все работы будут выполнены вовремяпалиндром.