129
правок
Изменения
Нет описания правки
<li> Пока множество <tex> X </tex> не пусто, распределяем работы по спискам следующим образом:
<ul>
<li> находим такие индексы <tex> i </tex> и <tex> j </tex>, что <tex>p_{ij} = \min \{ p_{ij} \mid i \in X; \land j = 1, 2\}</tex>, </li>
<li>если минимум достигается на первом станке (иными словами <tex> j = 1 </tex>), то поставим работу <tex> i </tex> в конец списка <tex> L </tex>, иначе ставим в начало списка <tex> R </tex>, </li>
<li>удаляем работу <tex> i </tex> из множества <tex> X </tex>. </li>
</ul>
</li>
<li> Рассмотрим список <tex> T = L ~\texttt{+ +}~ R</tex> {{--- }} конкатенацию <tex> L</tex> и <tex>R</tex>. Утверждается, что этот список является оптимальной перестановкой работ как на первом, так и на втором станке. Далее расставляем подряд работы на первом станке согласно перестановке, после чего ставим в том же порядке работы на втором станке, при этом избегая одновременного выполнения одной и той же работы. </li>
</ol>
[[Файл:f2cmax_first_fixed.png|400px|thumb|right|Рис. 1]]
Предположим обратное: что не существует оптимального расписания с одинаковыми перестановками работ на станках.
Рассмотрим некоторое оптимальное расписание с максимальным по длине общим префиксом на станках. Пусть его длина равна <tex> k </tex>, где <tex> k < n </tex>. Пусть на <tex> k </tex> позиции на первом и втором станках стоит работа <tex> i </tex>, а на втором станке на позиции <tex> k + 1 </tex> стоит работа <tex> j </tex>. Тогда заметим, что если мы поставим работу <tex> j </tex> на первом станке сразу после работы <tex> i </tex>, то последовательные работы с <tex> h </tex> по <tex> m </tex> (см. Рисрис. 1) по-прежнему будут успевать выполниться, так как на втором станке они выполняются в текущем расписании после <tex> j </tex>. Таким образом нам удалось увеличить длину наибольшего общего префикса, а так как по нашему предположению она была максимальна, то наше предположение неверно, то и искомое расписание с одинаковым порядком выполнения работ на обоих станках существует.
}}
Таким образом задача сводится к поиску этой искомой перестановки. Докажем, что полученный приведенным выше алгоритмом список является оптимальной перестановкой работ.
{{лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement= Если для каких-то работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> из списка <tex> T </tex> верно неравенство <tex> \min(p_{i1}, p_{j2}) < \min(p_{j1}, p_{i2}) </tex>, то работа <tex> i </tex> встречается в списке <tex> T </tex> раньше, чем <tex> j </tex>.
|proof=
Пусть <tex> p_{i1} < p_{j2} </tex>. Случай <tex> p_{i1} > p_{j2} </tex> рассматривается аналогично.
==Псевдокод==
'''function''' F2Cmax(n: '''int''', p: '''int'''[n][2]): '''list<int>''' '''list<int>''' L = <tex>\varnothing </tex> '''list<int>''' R = <tex>\varnothing </tex> '''set<int>''' X = <tex>\{1, \dotsldots, n\}</tex> '''while''' X <tex> \neq \varnothing</tex> Найти i и j , такие что <tex>p_{ij} = \min \{ p_{ij} \mid i \in X; \land j = 1, 2\}</tex>
'''if''' j == 1
L.addLast(i)
R.addFirst(i)
X.remove(i)
'''list<int>''' T = L ++ R
'''return''' T
