Изменения

Даны матроиды <tex>M_1 = \langle S_1, I_1 \mathcal{I}_1 \rangle \dots M_n = \langle S_n, I_n \mathcal{I}_n \rangle</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности независимое множество в [[Объединение_матроидов,_проверка_множества_на_независимость|объединении]] <tex>M_1\dots M_nbigcup\limits_{i=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>.

Определим объединение матроидов как Пусть у нас есть множество <tex>MI\in\mathcal{I}</tex> = , где <tex>\langle Smathcal{I}</tex> — искомое множество,J \rangleи разбиение множества <tex>I</tex> = на <tex>\bigcup\limits_{i=1}^{n}I_i</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i</tex> = такое, что <tex>I_i\langle S_i,J_i in \ranglemathcal{I}_i</tex>

Определим объединение матроидов как <tex>M</tex> = <tex>\langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex> = <tex>\bigcup\limits_{i=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i</tex> = <tex>\langle S_i,\mathcal{I}_i \rangle</tex>. Для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные_определения_теории_графов#.D0.94.D0.B2.D1.83.D0.B4.D0.BE.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84|двудольный ориентированный граф ]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in J_i\mathcal{I}_i</tex>, такой , что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим Проведем ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in J_i\mathcal{I}_i</tex>.

{{Определение|definition=<tex>F_i = \{ x \in S_i \setminus I_i : \mid I_i + x \in J_i \mathcal{I}_i \}</tex>. <tex>F</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>}}

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется [[Теорема_Радо-Эдмондса_(жадный_алгоритм)|жадный алгоритм]]. В нем трудность может представлять шаг поиска нового элемента не из текущего множества, который оставит текущее множество независимым.

:Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как <tex>\{s_0, s_1, \dots s_p\}</tex>. Вершина <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1...\dots n</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.:Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j\mathcal{I}_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j\mathcal{I}_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1\mathcal{I}_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

:Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

:Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \le leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i\mathcal{I}_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i\mathcal{I}_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.:У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции ранга объединения матроидов имеем :

:<tex>r_M(I + s) \le leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

:<tex>r_M(I + s) \le leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex> :и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.

'''int'''[][] union''' union_base('''int''' <tex>S[n]</tex>, '''int''' <tex>J[n]</tex>): '''int[][]'''[] <tex>I[(n])</tex> <font color="darkgreen">//На каждом шаге алгоритма заполняем очередным элементом </font> '''bool''' <tex>\mathtt{reached}</tex> = '''false''' '''while''' '''not''' <tex>!\mathtt{reached}</tex>: <tex>\mathtt{reached}</tex> = '''true'''

'''int[]List''' <tex>p</tex> = find_shortest_path(<tex>F</tex>, <tex>s</tex>)

<tex>\mathtt{reached}</tex> = '''false''' '''int''' <tex>\mathtt{pos}</tex> = get_f(<tex>p[1]</tex>) <font color="darkgreen">// Находим <tex>F_i</tex>, которому принадлежит стартовая вершина в пути</font>

'''int''' <tex>\mathtt{vertex\_num}</tex> = get_D_by_edge<tex>(p[j],p[j+1])</tex> <font color="darkgreen">// Находим номер графа, соответствующего ребру <tex>(p[j],p[j+1])</tex></font> <tex>v[\mathtt{vertex\_num}].add(j)</tex> <tex>v[\mathtt{vertex\_num}].add(j + 1)</tex>

<tex>I[\mathtt{pos}]</tex> = <tex>I[\mathtt{pos}] \cup p[1] </tex>

*[http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]