(Дополнительно) Объясни меня тому, кто всё это написал
<s>(Дополнительно) Допиши меня</s>
== Нанопример ==
}}
== Продолжение следует! ==
УТВ== Хз как назвать == трололо{{Утверждение|statement=Пусть <tex>m \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)</tex> и <tex>M = \sup\limits_{x \in [c; d]}</tex> Тогда <tex>\omega(f, [c; d]) = M - m</tex>|proof=В силу <tex>m \leq f(x)</tex>, <tex>f(x'') \leq M</tex>, <tex>|f(x'') - f(x')| \leq M - m</tex>, значит, <tex>\omega(f, [c; d]) \leq M - m</tex> Докажем обратное неравенство, используя определение граней. <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') < M + \varepsilon,\ M - \varepsilon < f(x'')</tex> Отсюда, очевидно, следует, что тогда <tex>M - m - 2\varepsilon < f(x'') - f(x') \leq |f(x'') - f(x')| \leq \omega(f, [c; d])</tex> <tex>M - m - 2\varepsilon \leq \omega(f, [c; d])</tex> Устремим <tex>\varepsilon \to 0</tex>. Тогда <tex>M - m \leq \omega(f, [c; d])</tex>, что и требовалось}} {{Теорема|statement=Пусть на <tex>[a; b]</tex> задана интегрируемая функция <tex>f</tex>, <tex>f(x) \in [A; B]</tex>. На отрезке <tex>[A; B]</tex> задана непрерывная функция <tex>F \colon [A;B] \to \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>|proof=В силу условия теоремы сложная функция верна, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней. Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex> <tex>\tau \colon a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex> <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overline{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k </tex>, (где <tex>\overline{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)<tex>\leq</tex>(из свойств модуля непрерывности) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overline{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex><tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overline{x}_k - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline{x}_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex><tex>\leq 2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline{x}_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> По только что доказанному, <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline(x)_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex> Отсюда, по монотонности модуля непрерывности, <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overline{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex><tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex> Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\overline{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>, приходим к неравенству <tex>\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))</tex> По условию, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0</tex> Тогда, по непрерывности в нуле <tex>\omega</tex>, <tex>\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau)) \to 0</tex> Тогда <tex>\omega(F \circ f, \tau) \to 0 \Rightarrow F \circ f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>}} === Следствие === {{Утверждение|statement=Пусть <tex>f, g \in \mathcal{R}(a, b)</tex>. Тогда* <tex>|f| \in \mathcal{R}(a, b)</tex>* <tex>f^2 \in \mathcal{R}(a, b)</tex>* <tex>fg \in \mathcal{R}(a, b)</tex>|proofПервый и второй пункты получаются из теоремы, если вспомнить, что <tex>|x|</tex> и <tex>x^2</tex> {{---}} непрерывны. Докажем третий пункт. <tex>fg = \frac14(f + g)^2 - \frac14(f - g)^2</tex>. Это интегрируется по линейности интеграла и второму пункту.}} == Аддитивность интеграла == Установим одно из самых важных свойств интеграла {{---}} его аддитивность. {{Теорема|about=Аддитивность интеграла|statement=# Пусть <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(c;d)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex># Пусть <tex>a < b < c</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(b, c)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, c)</tex> и <tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex>. Это свойство называется аддитивностью интеграла|proof=Пусть <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex>. Поделим отрезки <tex>[c; a]</tex> и <tex>[b; d]</tex> таким образом, чтобы ранги их разбиений были не больше рангов разбиений <tex>[a; b]</tex> и <tex>[c; d]</tex>.Получаем разбиение <tex>\tau^*</tex>, <tex>\operatorname{rang} \tau^* \leq \operatorname{rang} \tau</tex> Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq w(f, \tau^*)</tex> Устремим <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>. Тогда <tex>\operatorname{rang} \tau^* \to 0</tex> <tex>(\omega(f, \tau^*) \to 0) \Rightarrow (\omega(f, \tau) \to 0)</tex> Аналогично устанавливается пункт второй, часть интегрируемости. Что касается <tex>\int\limits_a^c f</tex>, то, раз все интегралы существуют, выстроить интегральные суммы специального вида,например, деля отрезки <tex>[a; b]</tex> и <tex>[b; c]</tex> на равные части, получаем разбиение отрезка <tex>[a; c]</tex>.Тогда <tex>\sigma(f, [a; c]) = \sigma(f, [a; b]) + \sigma(f, [b; c])</tex> Устремляя ранг этого разбиения к нулю, в пределе получаем искомую формулу.}} == Слушайте продолжение в понедельник! ==
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
