635
правок
Изменения
Нет описания правки
{{
Теорема
|about=о нижней оценке для сортировки сравнениямисравнением
|statement=В худшем случае любой алгоритм сортировки сравнениями выполняет <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, где <tex>n</tex> {{---}} число сортируемых элементов.
|proof=[[Файл:G2.png|450px|thumb|Пример дерева для алгоритма сортировки трех элементов. <br>Внутренний узел, помеченный как <tex> i:j </tex>, указывает сравнение между <tex> a_{i} </tex> и <tex> a_{j} </tex>. Лист, помеченный перестановкой <tex> \left \langle \pi(1), \pi(2), \dots , \pi(n) \right \rangle </tex>, указывает упорядочение <tex> a_{\pi(1)} \leqslant a_{\pi(2)} \leqslant \dots \leqslant a_{\pi(n)} </tex>.]] Любому алгоритму сортировки сравнениями можно сопоставить дерево. В нем узлам соответствуют операции сравнения элементов, ребрам {{---}} переходы между состояниями алгоритма, а листьям {{---}} конечные перестановки элементов (соответствующие завершению алгоритма сортировки). Необходимо доказать, что высота такого дерева для любого алгоритма сортировки сравнениями не меньше чем <tex>\Omega(n \log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов.
Ограничимся рассмотрением сортировки перестановок <tex>n</tex> элементов. При сравнении некоторых двух из них, существует два возможных исхода (<tex>a_i < a_j</tex> и <tex>a_i > a_j</tex>), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует <tex>n!</tex> различных перестановок <tex>n</tex> элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее <tex>n!</tex> (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных).
Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, ч. т. д.
}}
==Следствие==
{{Утверждение
|statement=Пирамидальная сортировка и сортировка слиянием являются асимптотически оптимальными сортировками сравнением.
|proof=Верхние границы <tex> O(n \log n) </tex> времени работы пирамидальной сортировки и сортировки слиянием совпадают с нижней границей <tex>\Omega(n \log n)</tex> для наихудшего случая из теоремы о нижней границе для сортировки сравнением.
}}
