Изменения
→Основное характеристическое свойство замкнутых множеств
==Основное характеристическое свойство замкнутых множеств==
В обратную сторону печаль с доказательством. А везде в интернетах и умных книжках, наоборот, сначала говорится что замкнутое множество - то, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а потом уже доказывается что дополнение к замкнутому - открытое и наоборот. Надо, наверное, подойти к Додонову и спросить что он считает по этому поводу.
В доказательстве осталась небольшая проблема: мы говорим, что
: "каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром"
При этом <tex>y</tex>, вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если <tex>y</tex> лежит в некотором шаре <tex>V_1(x)_{r_1}</tex>, то существует шар <tex>V_2(y)_{r_2} \subset V_1</tex> (надо положить <tex>r_2 < r_1 - \rho(x, y)</tex>). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит.
