Изменения
Нет описания правки
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==
{{Теорема
|statement=
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует [[Основные определения теории графов|вершинно-простой путь]].
|proof= [[Файл:Simple way.png|thumb|250px|right|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]]
=== Конструктивное доказательство ===
Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... \ldots e_nv_n</tex>. * Алгоритм:Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в путь {{---}} <tex>v_j</tex>.Удалим отрезок пути от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_{i + 1} \ldots v_j</tex>, включительно.Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <tex>v_0</tex> до <tex>\ldots v_n</tex>, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.
=== Неконструктивное доказательство ===
Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.
}}
[[Файл:Simple way.png|thumb|250px|right|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]]
== Замечания ==
