Изменения

: Тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению - <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> - открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> - центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> - его радиус). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.: Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in VV_r(x)_r , \, VV_r(x)_r \cap F = \varnothing </tex>: Запишем это формально: <tex> \forall r: F \cap VV_r(x)_r \neq \varnothing</tex>.

: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap VV_{r_n}(x)_{r_n}) </tex>.