Изменения
йдется
|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''простым''' (англ. '' simple set''), если <tex>A</tex> — перечислимое, бесконечное и <tex>\overline{A}</tex> {{---}} иммунное.
}}
==Теорема о простом множестве=существовании простого множества={{Теорема|statement=Существует простое множество.|proof=
Рассмотрим все программы.
Для некоторого [[Перечислимые_языки | перечислимого языка]] какая-то из них является его перечислителем.
Рассмотрим программу <tex>q</tex>:
<tex>q</tex>(): '''for ''' <tex>(TL = 1\ \ldots +\infty)</tex> '''for ''' <tex>(i = 1\ \ldots TL)</tex> запустить <tex>i</tex>-ую в [[Главные нумерации|главной нумерации]] программу на <tex>TL</tex> шагов напечатать первый <tex>x</tex>, который вывела эта программа, такой что <tex>x \geqslant 2 i;</tex> ничего не печатать, если такого числа не найдется.
Обозначим <tex>E(q)</tex> — множество, которое перечисляет эта программа.
Докажем несколько утвержденийлемм, из которых будет очевидна правильность доказательства утверждения теоремы.===Лемма 1===
Необходимо, чтобы перечислимое множество <tex>E(q)</tex> имело иммунное дополнение. Это означает, что <tex>E(q)</tex> должно пересекаться с любым бесконечным перечислимым множеством.
{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=1
|statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex> существует его элемент, принадлежащий <tex>E(q)</tex>.
|proof=
По построению, для любого множества <tex> B </tex> в <tex>E(q)</tex> будет содержаться первый его элемент не меньший <tex>2 i</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} номер перечислителя множества <tex>B</tex>.
}}
===Лемма 2===
{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=2
|statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex> верно, что <tex>B \not \subset \overline{E(q)}</tex>.
|proof=
[[#Лемма 1|По первой лемме]] существует элемент <tex>B</tex>, принадлежащий <tex>E(q)</tex>, и, следовательно, не принадлежащий <tex>\overline{E(q)}</tex>.
}}
===Лемма 3===
{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=3
|statement=<tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} бесконечно.
|proof=
Среди чисел от <tex>1</tex> до <tex>k</tex> множеству <tex>E(q)</tex> принадлежат не более
<tex>\dfrac{k}{2}</tex>.
Следовательно <tex>\overline{E(q)}</tex> принадлежат не менее <tex>\dfrac{k}{2}</tex>.
}}
== См. также ==
*[[Перечислимые языки]]