Изменения

[[Лекция 6 | <<]][[Геделева нумерацияАрифметические функции и отношения. Арифметизация доказательств Их выразимость в формальной арифметике | >>]]

Рассмотрим примитивы<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, из которых будем собирать выражения:<tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex> <li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>

# <tex>\mathrm{Z}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex># <tex>\mathrm{N}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex># Проекция. <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N^n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, где <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) x' = x_i</tex># Подстановка. Если <tex>\mathrm{f}: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathrm{N^m} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathrm{N^m} \rightarrow \mathrm{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex># Примитивная рекурсия. Если <tex>\mathrm{f}: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}: \mathrm{N^{n+2}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathrm{N^{nx +1}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y > 0 \end{array}\right.</tex># Минимизация. Если <tex>\mathrm{f}: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.

Если некоторая функция <li> <tex>\mathrm{NU^nn_i} \rightarrow \mathrm</tex> {{N---}}проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex> может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.</li>

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) ===Примитивно рекурсивные функции===x_i</tex> <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) ==== Основные определения ====Рассмотрим следующие правила преобразования функций:\mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>

===== Подстановка =====Рассмотрим <tex> k </texli>-местную функцию <tex> \mathrm{fR}(x_1,\ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>n </tex>{{--местных функций <tex> \mathrm{g_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex>-местная функция <tex>\mathrm{F} </tex>, такая что:<tex> \mathrm{F} = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \mathrm{g_k}(x_1,\ldots,x_n)) примитивная рекурсия.</texli>.

===== Рекурсия =====Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию Если <tex> \mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N} </tex> и <tex> (k \mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+ 2) } \rightarrow \mathbb{N}</tex>-местную функцию , то <tex> \mathrm{hR}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N} </tex>. Тогда после преобразования у нас будет , при этом <tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(k+1x_1, \ldots, x_n) </tex>& y = 0\\ \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-местная функция <tex> 1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g} \rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex>, которая определена следующим образом:

<li> <tex>\mathrmmu</tex> {{g---}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm{f}(x_1,\ldots,x_n)минимизация.</texli>

Если <tex>\mathrm{gf}(x_1: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>,то <tex>\mu \langle{}\ldotsmathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>,x_n,y+1)=при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{hf}\rangle (x_1,\ldots,x_n,)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>,что <tex>\mathrm{gf}(x_1,\ldots, x_n,y))= 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.</ol>{{Определение|definition=Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive''). }}

'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> \mathrm{I}(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k---}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n 5</tex>.

Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.}}

*В дальнейшем вместо правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{P_F}(x,y) =\mathrm{n,kf}(\mathrm{g}(x_1y),\ldotsmathrm{h}(x,x_kx,y)) </tex> будем писать просто эквивалентна <tex> x_k \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, подразумевая требуемое нам но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент. == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == ==== '''n '''-местный ноль ====<tex> \textbf 0 </tex>{{---}} функция нуля аргументов. <tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) ==== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ====\mathrm{Z}(y) </tex>

===== ''' n '''-местный ноль =====Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.

Выразим сначала ====Константа <tex> \textbf 0^1 M </tex>====

<tex> \textbf 0^M(x) = \underbrace{1\mathrm{N}(0\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x)))) = \textbf 0 </tex>

<tex> \textbf 0M^n </tex> {1}(y+1) = \mathrm{h---}(y,\textbf 0^{1}(y)) <tex>n</tex>-местная константа, где получается аналогичным к <tex> \mathrm{h}(x,y) = y textbf 0^n </tex> образом.

Теперь выразим ==== Сложение ====<tex> \textbf 0^n mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где

<tex> \textbf 0^mathrm{nf}(x_1,\ldots,x_{n-1},0x) = \textbf 0^{n-1} x </tex>

<tex> \textbf 0^mathrm{ng}(x_1x,\ldotsy,x_{n-1},y+1z) = \mathrm{hN}(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x_1,\ldots, x_n,yz) = y </tex>

<tex> \textbf M^n mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0\end{array}\right.</tex>  <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y- n местная константа, получается аналогичным к 1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex> <tex> =\textbf left\{\begin{array} {ll} x & y = 0^n \\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex> образом Можно преобразовать в более простой вид.

<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{hN}(x,y,\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) </tex>

===== Умножения =====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{hsum}(x,y,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) </tex>

===== Вычитания =====Если <tex> x < \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y) = x </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{hsub_1}(x,y,\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) </tex>

===== Операции сравнения =====

<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{IN}(\textbf 0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{IN}(x),y)) </tex>

===== IF =Условный оператор ====

<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(c,x,y,d) = x </tex> ===== Деление ===== <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

Сначала определим ==== Деление ====<tex> \mathrm{divmaxdivide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному , если <tex> x y > 0 </tex>,которое нацело делится на . Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.

Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(0x,y) =\textbf 0^</tex> {{1---} } функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.

<tex> \mathrm{divmax}(x+10,y) = \mathrm{hZ}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{I}(x),z),y),\mathrm{I}(x),z) </tex>,

или не формально если <tex> \mathrm{divmax}(x+1 - ,y ) = z </tex> то <tex> \mathrm{hif}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),zy) = x+1 ,</tex>, иначе <tex> \mathrm{hN}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y,z) = z )</tex>

<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{I}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{IZ}(x),y))) </tex>

или не формально если <tex> \mathrm{divide}(x+1~,y) = \vdots~mathrm{h}(x,y ,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, то где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{heq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y,z) = z )) </tex>

===== Работа со списками фиксированной длины =====С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ====

*<tex> L </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.

*<tex> S </tex> {{- --}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{- --}} символ на который указывает головка ленты.

Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.

Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> - примитивно рекурсивная функция. }} == Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике == Введем обозначение. Будем говорить, что <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> &mdash; это формула с <tex>n</tex> свободными переменными, если переменные <tex>x_1, ... x_n</tex> входят в <tex>\alpha</tex> свободно. Запись <tex>\alpha (y_1, \dots y_n)</tex> будем трактовать, как <tex>\alpha [x_1 := y_1, ... x_n := y_n]</tex>, при этом мы подразумеваем, что <tex>y_1, \dots y_n</tex> свободны для подстановки вместо <tex>x_1, \dots x_n</tex> в <tex>\alpha</tex>. Также, запись <tex>B(x_1, \dots x_n) := \alpha(x_1, \dots x_n)</tex> будет означать, что мы определяем новую формулу с именем <tex>B</tex>. Данная формула должна восприниматься только как сокращение записи, макроподстановка. {{Определение |definition=Арифметическая функция {{---}} примитивно рекурсивная функция <tex>f: N^n \rightarrow N</tex>.Арифметическое отношение {{---}} <tex>n</tex>-арное отношение, заданное на <tex>N</tex>.}} {{Определение |definition=Арифметическое отношение <tex>R</tex> называется выразимым (в формальной арифметике), если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> с <tex>n</tex> свободными переменными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex> # если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> истинно, то доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex># если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> ложно, то доказуемо <tex>\neg \alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>.}} Например, отношение <tex>(<)</tex> является выразимым в арифметике: Рассмотрим формулу <tex>\alpha (a_1, a_2) = \exists b (\neg b = 0 \& a_1 + b = a_2)</tex>. В самом деле, если взять некоторые числа <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex>, такие, что <tex>k_1 < k_2</tex>, то найдется такое положительное число <tex>b</tex>, что <tex>k_1 + b = k_2</tex>. Можно показать, что если подставить <tex>\overline{k_1}</tex> и <tex>\overline{k_2}</tex> в <tex>\alpha</tex>, то формула будет доказуема. Наметим доказательство: Тут должно быть два доказательства по индукции, сперва по <tex>k_2</tex>, потом по <tex>k_1</tex>. Рассмотрим доказательство по индукции: пусть <tex>k_1 = 0</tex>, индукция по 2-му параметру: Разберем доказательство базы при <tex>k_2 = 1</tex>. Тогда надо показать <tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex>: <table><tr class="odd"><td align="left">(1)</td><td align="left"><tex>\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1</tex></td><td align="left">Несложно показать</td></tr><tr class="even"><td align="left">(2)</td><td align="left"><tex>(\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1) \rightarrow \exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">Cх. акс. для <tex>\exists</tex></td></tr><tr class="odd"><td align="left">(3)</td><td align="left"><tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">M.P. 1 и 2.</td></tr></table> {{Определение |definition=Введем следующее сокращение записи: пусть <tex>\exists ! y \phi (y)</tex> означает <tex>\exists y \phi (y) \& \forall a \forall b (\phi(a) \& \phi(b) \rightarrow a=b)</tex> Здесь <tex>a</tex> и <tex>b</tex> &mdash; некоторые переменные, не входящие в формулу <tex>\phi</tex> свободно.

{{Определение |definition=Арифметическая функция <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов называется представимой в формальной арифметике, если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_{n+1})</tex> с <tex>n+1</tex> свободными пременными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex> # <tex>f(k_1, \dots k_n) = k_{n+1}</tex> тогда и только тогда, когда доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_{n+1}})</tex>См.# Доказуемо <tex>\exists ! b (\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n}, b)</tex> Комментарии:Функция называется сильно представимой, если в свойстве 2 натуральные числа заменить на переменные: <tex>\exists ! b (\alpha (a_1, \dots a_n, b)</tex>}} Комментарии: Очевидно, что сильно представимая функция также является представимой --- с помощью уже встречавшегося ранее трюка с введением квантора всеобщности, а потом с подстановкой конкретного терма вместо переменной мы можем подставить любые константы вместо переменных. {{Теорема|statement= Функции <tex>Z</tex>, <tex>N</tex>, <tex>U^n_i</tex> являются представимыми.|proof=Наметим доказательство. Для этого приведем формулы, доказательство корректности этих формул оставим в виде упражнения. * Примитив <tex>Z</tex> представит формула <tex>Z (a, b) := (a=a \& b=0)</tex>.* Примитив <tex>N</tex> представит формула <tex>N (a, b) := (a' = b)</tex>.* Примитив <tex>U^n_i</tex> представит формула <tex>U^n_i (a_1, ...a_n, b) = (a_1=a_1) \& ... \& (a_n=a_n) \& (b= a_i)</tex>.}} {{Теорема|statement=Если функции <tex>f</tex> и <tex>g_1</tex>, ... <tex>g_m</tex> представимы, то функция <tex>S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle</tex> также представима.|proof=Поскольку функции <tex>f</tex> и <tex>g_i</tex> представимы, то есть формулы <tex>F</tex> и <tex>G_1, \dots G_m</tex>, их представляющие. Тогда следующая формула представит <tex>S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle</tex>: <tex>S (a_1, \dots a_n, b) := \exists b_1 \dots \exists b_m (G_1 (a_1, \dots a_n, b_1) \& \dots \& G_m (a_1, \dots a_n, b_m) \& F (b_1, \dots b_m, b))</tex>}} {{Определение |definition=Характеристическая функция арифметического отношения <tex>R</tex> &mdash; это функция <tex>C_R (x_1, ... x_n) = \left\{\begin{array}{ll}0 &R (x_1,...x_n)\\1 & R (x_1,...x_n) \textrm{ неверно}\end{array}\right.</tex>}} Очевидно, что характеристическая функция представима тогда и только тогда, когда отношение выразимо. {{Определение |definition=<tex>\beta</tex>-функция Геделя - это функция <tex>\beta (b,c,i) = b \% (1 + c \cdot (i + 1))</tex>. Здесь операция (%) означает взятие остатка от целочисленного деления.}} {{Лемма|statement= Функция примитивно-рекурсивна, и при этом представима в арифметике формулой <tex>B (b,c,i,d) := \exists q ((b = q \cdot (1 + c \cdot (i+1)) + d) \& (d < 1 + c \cdot (i+1)))</tex>|proof=Упражнение.}} {{Лемма|statement= Для любой конечной последовательности чисел <tex>k_0</tex> ... <tex>k_n</tex> можно подобрать такие константы <tex>b</tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = k_i</tex> для <tex>0 \le i \le n</tex>.|proof=Возьмем число <tex>c = max(k_1,\dots k_n,n)!</tex>. Рассмотрим числа <tex>u_i = 1 + c \cdot (i+1)</tex>. * Никакие числа <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> <tex>(0 \le j < i \le n)</tex> не имеют общих делителей кроме 1. Пусть это не так, и есть некоторый общий делитель <tex>p</tex> (очевидно, мы можем предположить его простоту &mdash; разложив на множители, если он составной). Тогда <tex>p</tex> будет делить <tex>u_i [[Лямбда- u_j = c \cdot (i - j)</tex>, при этом <tex>p</tex> не может делить <tex>c</tex> &mdash; иначе окажется, что <tex>u_i = (1 + c \cdot (i+1))</tex> делится на <tex>p</tex> и <tex>c \cdot (i+1)</tex> делится на <tex>p</tex>. Значит, <tex>p</tex> делит <tex>i-j</tex>, то есть все равно делит <tex>c</tex>, так как <tex>c</tex> &mdash; факториал некоторого числа, не меньшего <tex>n</tex>, и при этом <tex>i-j \le n</tex>.* Каждое из чисел <tex>k_i</tex> меньше, чем <tex>u_i</tex>: в самом деле, <tex>k_i \le c < 1 + c \cdot (i+1) = u_i</tex>.исчисление]]* Согласно китайской теореме об остатках, если некоторые натуральные числа <tex>u_0, \dots u_n</tex> попарно взаимно просты, то для любых целых чисел <tex>k_0, \dots k_n</tex>, таких, что <tex>0 \le k_i < u_i</tex>, найдется такое целое число <tex>b</tex>, для которого выполнено <tex>k_i = b \% u_i</tex>. Возьмем <tex>b</tex>, подсказываемое теоремой об остатках.}}  {{Теорема|statement= Всякая рекурсивная функция представима в арифметике.|proof=Представимость первых четырех примитивов уже показана. Покажем представимость примитивной рекурсии и операции минимизации. Пусть есть некоторый <tex>R \langle{} f,g \rangle</tex>. Соответственно, <tex>f</tex> и <tex>g</tex> уже представлены как некоторые формулы <tex>F</tex> и <tex>G</tex>. Из определения <tex>R\langle{}f,g\rangle</tex> мы знаем, что для значения <tex>R \langle{} f,g \rangle (x_1,...x_{n+1})</tex> должна существовать последовательность <tex>a_0 ... a_{x_{n+1}}</tex> результатов применения функций f и g &mdash; значений на одно больше, чем итераций в цикле примитивной рекурсии, а это количество определяется последним параметром [[Частично рекурсивные функции <tex>R \langle{}f,g\rangle</tex>. При этом: Значит, по лемме, должны существовать такие числа <tex>b</tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = a_i</tex> для <tex>0 \le i \le x_{n+1}</tex>. Приведенные рассуждения позволяют построить следующую формулу, представляющую <tex>R\langle{}f,g\rangle (x_1, ... x_{n+1})</tex>:  <tex> R(x_1, \dots x_{n+1}, a) := \exists b \exists c (\exists k (B (b, c, 0, k) \& F (x_1,...x_n, k)) \& B(b, c, x_{n+1}, a) \& \forall k (k < x_{n+1} \rightarrow \exists d \exists e (B (b, c, k, d) \& B (b, c, k', e) \& G (x_1,..x_n, k, d, e)))</tex>  Рассмотрим конструкцию <tex>\mu\langle{}f\rangle</tex>. <tex>f</tex> уже представлено как некоторая формула <tex>F</tex>. Тогда формула <tex>M (x_1, \dots x_n,y) := F(x_1, \dots x_n,y,0) \& \forall z (z < y \rightarrow \neg F (x_1, \dots x_n,z,0))</tex> представит <tex>\mu\langle{}f\rangle</tex>. }}]]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Рекурсивные функции на википедииВикипедия {{---}} Рекурсивная функция]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]