Изменения
→Локальный критерий Делоне
Но нашелся треугольник <tex>ABC</tex>, что для него не выполняется глобальный критерий, т.е существует какая-то точка <tex>E</tex>, которая лежит выше плоскости <tex>ABC</tex>.
В силу того, что локальный критерий выполняется, эта точка не принадлежит соседним треугольникам, в частности смежному треугольнику <tex>ABD</tex> по ребру <tex>AB</tex>
За <tex>AB</tex> мы обозначили ребро, такое, что если провести сечение через точки <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>O</tex> (центр окружности), то точка E содержится в полусфере, не содержащей треугольник <tex>ABC</tex>.
Так как точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABC</tex>, а точка <tex>D</tex> под плоскостью <tex>ABC</tex>, то точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABD</tex>.Аналогично для точек <tex>D'</tex> и <tex>D''</tex>(с учетом того, которые смежны по сторонам <tex>AC</tex> и <tex>BC</tex>что они лежат в одной полусфере)
Посмотрим, существует ли у треугольника <tex>ABD</tex> смежный треугольник, содержащий вершину <tex>E</tex>:
#Если он существует, то локальный критерий для треугольника <tex>ADE</tex> не выполняется
#Если он не существует, то точка <tex>E</tex> так же будет лежать "над" каждым смежным с <tex>ABD</tex> треугольником(аналогично треугольнику процессу с треугольником <tex>ABC</tex>). Повторим операцию от каждого из них. Так как количество треугольников конечно(в исходной полусфере, где содержалась точка E), процесс сойдется. Так как точка E принадлежит триангуляции, то на каком-то шаге итерации (пусть это будет треугольник <tex>XYZ</tex>) соседний треугольник будет содержать точку E, которая лежит выше плоскости <tex>XYZ</tex>, но это противоречит локальном критерию.
}}
