Изменения
Нет описания правки
|statement=Понятия диофантового и перечислимого множества совпадают. Это значит, что множество диофантово тогда и только тогда, когда оно перечислимо.
}}
Доказать гипотезу Дэвису не удалось, но он получил близкий к доказательству результат, показав <ref>[http://www.jstor.org/stable/2266325?seq=1#page_scan_tab_contents M. Davis. Arithmetical problems and recursively enumerable predicates, . {{---}} The Journal of Symbolic Logic 18 (1), 1953 {{---}} p. 33–41]</ref>, что любое перечислимое множество можно представить в виде, названном ''нормальной формой Дэвиса'':
<tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists z \quad \forall y < z \quad \exists x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
где <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> — выражения, построенные из <tex>x_1, x_2,\ldots , x_m</tex> и конкретных натуральных чисел с помощью сложения, умножения и возведения в степень.
В 1961 году в совместной работе Робинсон, Дэвиса и Патмена <ref>Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson The decision problem for exponential Diophantine equations. {{---}} Annals of Mathematics — 1961. — Vol. 74, № 3 — p. 425—436</ref> было получено экспоненциально - диофантово представление для любого перечислимого множества:
<tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
