403
правки
Изменения
Мы строили, строили и, наконец, построили! Эта огромная статья наконец-то закончилась!
{{В разработке}}
== Читателям =='''Эта статья каг бе говорит тебе: пойми меня и исправь всё неправильное, а так же добавь понятности и викифицируй меня'''. (Дополнительно) Объясни меня тому, кто всё это написал <s>(Дополнительно) Допиши меня</s> == Нанопример Пример ==
В простейших случаях легко убедиться в существовании [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|определённого интеграла]].
}}
== Слушайте продолжение в понедельник! Существование неопределённого интеграла непрерывной или возрастающей функции == {{Утверждение|statement=Если <tex>f</tex> {{---}} 1. непрерывна на <tex>[a; b]</tex> 2. возрастает на <tex>[a; b]</tex>, то <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>|proof=1. Если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a;b]</tex>, то, по ПШШШШШШШШШШШ она равномерно непрерывна на нём. Тогда <tex>\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x'' - x'| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex> Возьмём разбиение <tex>\tau</tex>, такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>. Тогда для любой пары соседних промежуточных точек<tex>|f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>. Тогда, по лемме о колебаниях, <tex>M_k - m_k < \varepsilon</tex>. Получаем:<tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_{k = 0}^{n -1} \Delta x_k = (b - a)\varepsilon</tex>, если <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>.Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем, что функция интегрируема. 2. <tex>f</tex> возрастает. Так как <tex>m_k</tex> {{---}} минимум на отрезке, а <tex>M_k</tex> {{---}} максимум, то <tex>m_k = f(x_k)</tex>, <tex>M_k = f(x_{k + 1})</tex> <tex>\omega(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (f(x_{k + 1}) - f(x_k)) \Delta x_k \leq </tex><tex>\operatorname{rang} \tau \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(x_{k + 1} - f(x_k)) = </tex><tex>(f(b) - f(a)) \operatorname{rang} \tau</tex> Так как <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex> <tex>\Rightarrow f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>}} == Обобщение формулы аддитивности == {{Определение|definition=При <tex>a > b</tex>, <tex>\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a</tex> Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел <tex>a_1, a_2, \ldots a_n</tex>: <tex>\int\limits_{a_1}^{a_n} = \int\limits_{a_1}^{a_2} + \int\limits_{a_2}^{a_3} + \cdots + \int\limits_{a_{n - 1}}^{a_n}</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
