113
правок
Изменения
Единственность разложения в базис.
==Определения==
...
==Базисы==
{{Определение
|definition=Пространство называется <math>d</math>-мерным, если в нём существует набор из <math>d</math> линейно независимых векторов,
и не существует набора из <math>d + 1</math> линейно независимого вектора.
}}
{{Утверждение
|statement=В <math>d</math>-мерном пространстве любой вектор <math>\vec{A}</math> единственным образом раскладывается в базисе из <math>d</math> линейно независимых векторов <math>\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d</math> как <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i</math>.
|proof=Если мы добавим в базис вектор <math>\vec{A}</math>, то он обязательно станет линейно зависимым, а значит, найдутся такие <math>\beta</math> и <math>\{\alpha_i\}</math>, что
<math>\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies
\vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i</math>,
а значит, разложение существует.
Теперь пусть есть два разложения <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}</math> и <math>\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}</math>.
Тогда
<math>\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i</math>,
однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть
<math>\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies</math> разложение единственно.
}}
Мы можем переходить из одного базиса в другой.
...
==Базисы==
{{Определение
|definition=Пространство называется <math>d</math>-мерным, если в нём существует набор из <math>d</math> линейно независимых векторов,
и не существует набора из <math>d + 1</math> линейно независимого вектора.
}}
{{Утверждение
|statement=В <math>d</math>-мерном пространстве любой вектор <math>\vec{A}</math> единственным образом раскладывается в базисе из <math>d</math> линейно независимых векторов <math>\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d</math> как <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i</math>.
|proof=Если мы добавим в базис вектор <math>\vec{A}</math>, то он обязательно станет линейно зависимым, а значит, найдутся такие <math>\beta</math> и <math>\{\alpha_i\}</math>, что
<math>\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies
\vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i</math>,
а значит, разложение существует.
Теперь пусть есть два разложения <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}</math> и <math>\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}</math>.
Тогда
<math>\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i</math>,
однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть
<math>\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies</math> разложение единственно.
}}
Мы можем переходить из одного базиса в другой.
