4
правки
Изменения
Новая страница: «== Определение == '''Scapegoat-дерево''' (англ. ''Scapegoat-Tree'') {{---}} сбалансированное бинарное дерево п...»
== Определение ==
'''Scapegoat-дерево''' (англ. ''Scapegoat-Tree'') {{---}} сбалансированное бинарное дерево поиска, обеспечивающее наихудшее <tex>O(log N)</tex> время поиска, и <tex>O(log N)</tex> - амортизирующее время вставки и удаления элемента.
В отличие от большинства других самобалансирующихся бинарных деревьев поиска , которые обеспечивают худшем случае <tex>O(log N)</tex> время поиска, Scapegoat деревья не требуют дополнительной памяти в узлах по сравнению с обычным двоичным деревом поиска : узел хранит только ключ и два указателя на своих потомков.
== Достоинства Scapegoat дерева ==
# Отсутствие необходимости хранить какие-либо дополнительные данные в вершинах (а значит мы выигрываем по памяти у таких структур, как [[Красно-черное дерево]], [[АВЛ-дерево]] и [[Декартово дерево]])<br><br>
# Отсутствие необходимости перебалансировать дерево при операции поиска (а значит мы можем гарантировать максимальное время поиска <tex>O(log N)</tex>, в отличии от структуры данных [[Splay-дерево]], где гарантируется только амортизированное <tex>O(log N)</tex>)<br><br>
# Амортизированная сложность операций вставки и удаления <tex>O(log N)</tex> — это в общем-то аналогично остальным типам деревьев<br><br>
# При построении дерева мы выбираем некоторый коэффициент «строгости» α, который позволяет улучшать дерево, делая операции поиска более быстрыми за счет замедления операций модификации или наоборот. Можно реализовать структуру данных, а дальше уже подбирать коэффициент по результатам тестов на реальных данных и специфики использования дерева.<br><br>
== Недостатки Scapegoat дерева ==
# В худшем случае операции модификации дерева могут занять <tex>O(N)</tex> времени (амортизированная сложность у них по-прежнему <tex>O(log N)</tex>, но защиты от плохих случаев нет).<br><br>
# Можно неправильно оценить частоту разных операций с деревом и ошибиться с выбором коэффициента α — в результате часто используемые операции будут работать долго, а редко используемые — быстро, что не очень хорошо.<br><br>
== Операции ==
{{Определение
|definition=Бинарное дерево поиска называется '''сбалансированным по весу''', если половина вершин расположены слева от корня, а другая половина справа.
}}<br><br>
'''Введем обозначения:'''<br><br>
Квадратные скобки в обозначениях означают, что мы храним это значение явно, а значит можем взять за время <tex>О(1)</tex>. Круглые скобки означают, что значение будет вычисляться по ходу дела то есть память не расходуется, но зато нужно время на вычисление.
* <tex>T</tex> — обозначение дерева<br><br>
* <tex>root[T]</tex> — корень дерева <tex>T</tex><br><br>
* <tex>left[x]</tex> — левый сын вершины x<br><br>
* <tex>right[x]</tex> — правый сын вершины x<br><br>
* <tex>brother(x)</tex> — брат вершины х (вершина, которая имеет с х общего родителя)<br><br>
* <tex>depth(x)</tex> — глубина вершины х. Это расстояние от неё до корня (количество ребер)<br><br>
* <tex>height(T)</tex> — глубина дерева T. Это глубина самой глубокой вершины дерева T<br><br>
* <tex>size(x)</tex> — вес вершины х. Это количество всех её дочерних вершин + 1 (она сама)<br><br>
* <tex>size[T]</tex> — размер дерева T. Это количество вершин в нём (вес корня)<br><br>
* <tex>maxsize[T]</tex> — максимальный размер дерева. Это максимальное значение, которое параметр <tex>size[T]</tex> принимал с момента последней перебалансировки.<br><br> Если перебалансировка произошла только что, то <tex>maxsize[T] = size[T]</tex><br><br>
[[Файл:0ce162a62b624da8ba02233b4b254f23.png]]
<br><br>
Синим цветом обозначены '''глубины''' вершин, а красным - их '''веса'''.
<br>
В данном Scapegoat-дереве <tex>size[T] = 4</tex>, <tex>maxsize[T] \geqslant 4</tex>
<br><br>
* Коэффициeнт α — это число в диапазоне от <tex>[0.5; 1)</tex>, определяющее требуемую степень качества балансировки дерева.
<br>{{Определение
|definition=Некоторая вершина x называется "α-сбалансированной по весу", если вес её левого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex> и вес ей правого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex>.}}
<br><br>
:<tex>size(left[x]) \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>;<br><br>
:<tex>size(right[x]) \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>;<br><br>
Перед тем как приступить к работе с деревом, мы выбираем параметр α в диапазоне <tex>[0.5; 1)</tex>. Также заводим две переменные для хранения текущих значений <tex>size[T]</tex> и <tex>maxsize[T]</tex> и обнуляем их.<br><br>
=== Поиск элемента ===
<br>Пусть мы хотим найти в данном Scapegoat дереве какой-то элемент. Применим стандартный алгоритм для двоичного дерева поиска - идем от корня, если значение в вершине равно значению искомого элемента, возвращаем, если значение в вершине меньше, то рекурсивно запускаемся от левого поддерева, если больше, то, соответственно, от левого.<br><br>
'''Замечание:''' Дерево по ходу поиска искомой вершины ''не изменяется''.<br>
Сложность операции поиска зависит от коэффициента <tex>\alpha</tex> и выражается формулой {{---}} <tex>log</tex><sub>1/α</sub><tex>(N)</tex>
<br><br>
Таким образом, сложность получается логарифмическая, НО! При <tex>\alpha</tex> близком к 0.5 мы получаем двоичный (или почти двоичный) логарифм, что означает практически идеальную скорость поиска. При <tex>\alpha</tex> близком к единице основание логарифма стремится к единице, а значит общая сложность стремится к <tex>O(N)</tex>.
=== Вставка элемента ===
Классический алгоритм вставки нового элемента: поиском ищем место, куда бы подвесить новую вершину, ну и подвешиваем. Легко понять, что это действие могло нарушить <tex>\alpha</tex>-балансировку по весу для одной или более вершин дерева. И вот теперь начинается то, что и дало название нашей структуре данных: мы ищем Scapegoat-вершину — вершину, для которой потерян <tex>\alpha</tex>-баланс и её поддерево должно быть перестроено. Сама только что вставленная вершина, хотя и виновата в потере баланса, Scapegoat-вершиной стать не может — у неё ещё нет потомков, а значит её баланс идеален. Соответственно, нужно пройти по дереву от этой вершины к корню, пересчитывая веса для каждой вершины по пути. Если на этом пути встретится вершина, для которой критерий <tex>\alpha</tex>-сбалансированности по весу нарушился — мы полностью перестраиваем соответствующее ей поддерево так, чтобы восстановить <tex>\alpha</tex>-сбалансированность по весу. <br><br>
Сразу возникает вопрос {{---}} Как делать перебалансировку найденной Scapegoat-вершины?
<br><br>Есть 2 способа перебалансировки, {{---}} ниже подробнее рассказывается о каждом из них.
====1 способ перебалансировки====
# Обходим всё поддерево Scapegoat-вершины (включая её саму) с помощью in-order обхода — на выходе получаем отсортированный список (свойство In-order обхода бинарного дерева поиска).
# Находим медиану на этом отрезке, подвешиваем её в качестве корня поддерева.
# Для «левого» и «правого» поддерева рекурсивно повторяем ту же операцию.
Данный способ требует <tex>O(size(Scapegoat-root))</tex> времени и столько же памяти.
====2 способ перебалансировки====
Мы вряд ли улучшим время работы перебалансировки — всё-таки каждую вершину нужно «подвесить» в новое место. Но мы можем попробовать сэкономить память. Давайте посмотрим на 1 способ алгоритма внимательнее. Вот мы выбираем медиану, подвешиваем в корень, дерево делится на два поддерева — и делится весьма однозначно. Никак нельзя выбрать «какую-то другую медиану» или подвесить «правое» поддерево вместо левого. Та же самая однозначность преследует нас и на каждом из следующих шагов. Т.е. для некоторого списка вершин, отсортированных в возрастающем порядке, у нас будет ровно одно порождённое данным алгоритмом дерево. А откуда же мы взяли отсортированный список вершин? Из in-order обхода изначального дерева. То есть каждой вершине, найденной по ходу in-order обхода перебалансируемого дерева соответствует одна конкретная позиция в новом дереве. И мы можем эту позицию рассчитать и без создания самого отсортированного списка. А рассчитав — сразу её туда записать. Возникает только одна проблема — мы ведь этим затираем какую-то (возможно ещё не просмотренную) вершину — что же делать? Хранить её. Где? Ответ прост: выделять для списка таких вершин память. Но этой памяти нужно будет уже не <tex>O(size(N))</tex>, а всего лишь <tex>O(log N)</tex>.
Представьте себе в уме дерево, состоящее из трёх вершин — корня и двух подвешенных как «левые» сыновья вершин. In-order обход вернёт нам эти вершины в порядке от самой «глубокой» до корня, но хранить в отдельной памяти по ходу этого обхода нам придётся всего одну вершину (самую глубокую), поскольку когда мы придём во вторую вершину, мы уже будем знать, что это медиана и она будет корнем, а остальные две вершины — её детьми. Т.е. расход памяти здесь — на хранение одной вершины, что согласуется с верхней оценкой для дерева из трёх вершин — <tex>log(3)</tex>.
=== Удаление элемента ===
Удаляем элемент из дерева обычным удалением вершины бинарного дерева поиска (поиск элемента, удаление, возможное переподвешивание детей).
Далее проверяем выполнение условия:<br>
:<tex>size[T] < \alpha \cdot maxsize[T]</tex>;<br>
Если оно выполняется — дерево могло потерять α-балансировку по весу, а значит нужно выполнить полную перебалансировку дерева (начиная с корня) и присвоить:<br>
:<tex>maxsize[T] = size[T]</tex>;<br>
==Вопросы==
<br>
*'''Как пройти от вершины вверх к корню? Нам нужно хранить ссылки на родителей?'''
:Поскольку мы пришли к месту вставки новой вершины из корня дерева — у нас есть стек, в котором находится весь путь от корня к новой вершине. Берём родителей из него.;
*'''Как посчитать вес вершины — ведь он не хранится в самой вершине?'''
:Для новой вершины вес = 1. Для её родителя вес = 1 (вес новой вершины) + 1 (вес самого родителя) + <tex>size(brother(x))</tex>.;
*'''Как посчитать <tex>size(brother(x))</tex>?'''
:Рекурсивно. Это займёт время <tex>O(size(brother(x)))</tex>. Понимая, что в худшем случае придётся посчитать вес половины дерева — здесь появляется та самая сложность <tex>O(N)</tex> в худшем случае, о которой говорилось в начале. Но поскольку мы обходим поддерево α-сбалансированного по весу дерева можно показать, что амортизированная сложность операции не превысит <tex>O(log N)</tex>.;
*'''Что делать, если возникло несколько вершин, для которых нарушился α-балан?'''
:Ответ прост: выбрать можно любую.;
<br><br>
==Внешние ссылки==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#In-order_.28symmetric.29 In-order обход дерева]
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Scapegoat_tree Википедия - Scapegoat tree]<br>
*[https://habrahabr.ru/company/infopulse/blog/246759/ Хабрахабр - Scapegoat деревья]<br>
*[https://people.ksp.sk/~kuko/gnarley-trees/ Scapegoat Tree Applet by Kubo Kovac]
'''Scapegoat-дерево''' (англ. ''Scapegoat-Tree'') {{---}} сбалансированное бинарное дерево поиска, обеспечивающее наихудшее <tex>O(log N)</tex> время поиска, и <tex>O(log N)</tex> - амортизирующее время вставки и удаления элемента.
В отличие от большинства других самобалансирующихся бинарных деревьев поиска , которые обеспечивают худшем случае <tex>O(log N)</tex> время поиска, Scapegoat деревья не требуют дополнительной памяти в узлах по сравнению с обычным двоичным деревом поиска : узел хранит только ключ и два указателя на своих потомков.
== Достоинства Scapegoat дерева ==
# Отсутствие необходимости хранить какие-либо дополнительные данные в вершинах (а значит мы выигрываем по памяти у таких структур, как [[Красно-черное дерево]], [[АВЛ-дерево]] и [[Декартово дерево]])<br><br>
# Отсутствие необходимости перебалансировать дерево при операции поиска (а значит мы можем гарантировать максимальное время поиска <tex>O(log N)</tex>, в отличии от структуры данных [[Splay-дерево]], где гарантируется только амортизированное <tex>O(log N)</tex>)<br><br>
# Амортизированная сложность операций вставки и удаления <tex>O(log N)</tex> — это в общем-то аналогично остальным типам деревьев<br><br>
# При построении дерева мы выбираем некоторый коэффициент «строгости» α, который позволяет улучшать дерево, делая операции поиска более быстрыми за счет замедления операций модификации или наоборот. Можно реализовать структуру данных, а дальше уже подбирать коэффициент по результатам тестов на реальных данных и специфики использования дерева.<br><br>
== Недостатки Scapegoat дерева ==
# В худшем случае операции модификации дерева могут занять <tex>O(N)</tex> времени (амортизированная сложность у них по-прежнему <tex>O(log N)</tex>, но защиты от плохих случаев нет).<br><br>
# Можно неправильно оценить частоту разных операций с деревом и ошибиться с выбором коэффициента α — в результате часто используемые операции будут работать долго, а редко используемые — быстро, что не очень хорошо.<br><br>
== Операции ==
{{Определение
|definition=Бинарное дерево поиска называется '''сбалансированным по весу''', если половина вершин расположены слева от корня, а другая половина справа.
}}<br><br>
'''Введем обозначения:'''<br><br>
Квадратные скобки в обозначениях означают, что мы храним это значение явно, а значит можем взять за время <tex>О(1)</tex>. Круглые скобки означают, что значение будет вычисляться по ходу дела то есть память не расходуется, но зато нужно время на вычисление.
* <tex>T</tex> — обозначение дерева<br><br>
* <tex>root[T]</tex> — корень дерева <tex>T</tex><br><br>
* <tex>left[x]</tex> — левый сын вершины x<br><br>
* <tex>right[x]</tex> — правый сын вершины x<br><br>
* <tex>brother(x)</tex> — брат вершины х (вершина, которая имеет с х общего родителя)<br><br>
* <tex>depth(x)</tex> — глубина вершины х. Это расстояние от неё до корня (количество ребер)<br><br>
* <tex>height(T)</tex> — глубина дерева T. Это глубина самой глубокой вершины дерева T<br><br>
* <tex>size(x)</tex> — вес вершины х. Это количество всех её дочерних вершин + 1 (она сама)<br><br>
* <tex>size[T]</tex> — размер дерева T. Это количество вершин в нём (вес корня)<br><br>
* <tex>maxsize[T]</tex> — максимальный размер дерева. Это максимальное значение, которое параметр <tex>size[T]</tex> принимал с момента последней перебалансировки.<br><br> Если перебалансировка произошла только что, то <tex>maxsize[T] = size[T]</tex><br><br>
[[Файл:0ce162a62b624da8ba02233b4b254f23.png]]
<br><br>
Синим цветом обозначены '''глубины''' вершин, а красным - их '''веса'''.
<br>
В данном Scapegoat-дереве <tex>size[T] = 4</tex>, <tex>maxsize[T] \geqslant 4</tex>
<br><br>
* Коэффициeнт α — это число в диапазоне от <tex>[0.5; 1)</tex>, определяющее требуемую степень качества балансировки дерева.
<br>{{Определение
|definition=Некоторая вершина x называется "α-сбалансированной по весу", если вес её левого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex> и вес ей правого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex>.}}
<br><br>
:<tex>size(left[x]) \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>;<br><br>
:<tex>size(right[x]) \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>;<br><br>
Перед тем как приступить к работе с деревом, мы выбираем параметр α в диапазоне <tex>[0.5; 1)</tex>. Также заводим две переменные для хранения текущих значений <tex>size[T]</tex> и <tex>maxsize[T]</tex> и обнуляем их.<br><br>
=== Поиск элемента ===
<br>Пусть мы хотим найти в данном Scapegoat дереве какой-то элемент. Применим стандартный алгоритм для двоичного дерева поиска - идем от корня, если значение в вершине равно значению искомого элемента, возвращаем, если значение в вершине меньше, то рекурсивно запускаемся от левого поддерева, если больше, то, соответственно, от левого.<br><br>
'''Замечание:''' Дерево по ходу поиска искомой вершины ''не изменяется''.<br>
Сложность операции поиска зависит от коэффициента <tex>\alpha</tex> и выражается формулой {{---}} <tex>log</tex><sub>1/α</sub><tex>(N)</tex>
<br><br>
Таким образом, сложность получается логарифмическая, НО! При <tex>\alpha</tex> близком к 0.5 мы получаем двоичный (или почти двоичный) логарифм, что означает практически идеальную скорость поиска. При <tex>\alpha</tex> близком к единице основание логарифма стремится к единице, а значит общая сложность стремится к <tex>O(N)</tex>.
=== Вставка элемента ===
Классический алгоритм вставки нового элемента: поиском ищем место, куда бы подвесить новую вершину, ну и подвешиваем. Легко понять, что это действие могло нарушить <tex>\alpha</tex>-балансировку по весу для одной или более вершин дерева. И вот теперь начинается то, что и дало название нашей структуре данных: мы ищем Scapegoat-вершину — вершину, для которой потерян <tex>\alpha</tex>-баланс и её поддерево должно быть перестроено. Сама только что вставленная вершина, хотя и виновата в потере баланса, Scapegoat-вершиной стать не может — у неё ещё нет потомков, а значит её баланс идеален. Соответственно, нужно пройти по дереву от этой вершины к корню, пересчитывая веса для каждой вершины по пути. Если на этом пути встретится вершина, для которой критерий <tex>\alpha</tex>-сбалансированности по весу нарушился — мы полностью перестраиваем соответствующее ей поддерево так, чтобы восстановить <tex>\alpha</tex>-сбалансированность по весу. <br><br>
Сразу возникает вопрос {{---}} Как делать перебалансировку найденной Scapegoat-вершины?
<br><br>Есть 2 способа перебалансировки, {{---}} ниже подробнее рассказывается о каждом из них.
====1 способ перебалансировки====
# Обходим всё поддерево Scapegoat-вершины (включая её саму) с помощью in-order обхода — на выходе получаем отсортированный список (свойство In-order обхода бинарного дерева поиска).
# Находим медиану на этом отрезке, подвешиваем её в качестве корня поддерева.
# Для «левого» и «правого» поддерева рекурсивно повторяем ту же операцию.
Данный способ требует <tex>O(size(Scapegoat-root))</tex> времени и столько же памяти.
====2 способ перебалансировки====
Мы вряд ли улучшим время работы перебалансировки — всё-таки каждую вершину нужно «подвесить» в новое место. Но мы можем попробовать сэкономить память. Давайте посмотрим на 1 способ алгоритма внимательнее. Вот мы выбираем медиану, подвешиваем в корень, дерево делится на два поддерева — и делится весьма однозначно. Никак нельзя выбрать «какую-то другую медиану» или подвесить «правое» поддерево вместо левого. Та же самая однозначность преследует нас и на каждом из следующих шагов. Т.е. для некоторого списка вершин, отсортированных в возрастающем порядке, у нас будет ровно одно порождённое данным алгоритмом дерево. А откуда же мы взяли отсортированный список вершин? Из in-order обхода изначального дерева. То есть каждой вершине, найденной по ходу in-order обхода перебалансируемого дерева соответствует одна конкретная позиция в новом дереве. И мы можем эту позицию рассчитать и без создания самого отсортированного списка. А рассчитав — сразу её туда записать. Возникает только одна проблема — мы ведь этим затираем какую-то (возможно ещё не просмотренную) вершину — что же делать? Хранить её. Где? Ответ прост: выделять для списка таких вершин память. Но этой памяти нужно будет уже не <tex>O(size(N))</tex>, а всего лишь <tex>O(log N)</tex>.
Представьте себе в уме дерево, состоящее из трёх вершин — корня и двух подвешенных как «левые» сыновья вершин. In-order обход вернёт нам эти вершины в порядке от самой «глубокой» до корня, но хранить в отдельной памяти по ходу этого обхода нам придётся всего одну вершину (самую глубокую), поскольку когда мы придём во вторую вершину, мы уже будем знать, что это медиана и она будет корнем, а остальные две вершины — её детьми. Т.е. расход памяти здесь — на хранение одной вершины, что согласуется с верхней оценкой для дерева из трёх вершин — <tex>log(3)</tex>.
=== Удаление элемента ===
Удаляем элемент из дерева обычным удалением вершины бинарного дерева поиска (поиск элемента, удаление, возможное переподвешивание детей).
Далее проверяем выполнение условия:<br>
:<tex>size[T] < \alpha \cdot maxsize[T]</tex>;<br>
Если оно выполняется — дерево могло потерять α-балансировку по весу, а значит нужно выполнить полную перебалансировку дерева (начиная с корня) и присвоить:<br>
:<tex>maxsize[T] = size[T]</tex>;<br>
==Вопросы==
<br>
*'''Как пройти от вершины вверх к корню? Нам нужно хранить ссылки на родителей?'''
:Поскольку мы пришли к месту вставки новой вершины из корня дерева — у нас есть стек, в котором находится весь путь от корня к новой вершине. Берём родителей из него.;
*'''Как посчитать вес вершины — ведь он не хранится в самой вершине?'''
:Для новой вершины вес = 1. Для её родителя вес = 1 (вес новой вершины) + 1 (вес самого родителя) + <tex>size(brother(x))</tex>.;
*'''Как посчитать <tex>size(brother(x))</tex>?'''
:Рекурсивно. Это займёт время <tex>O(size(brother(x)))</tex>. Понимая, что в худшем случае придётся посчитать вес половины дерева — здесь появляется та самая сложность <tex>O(N)</tex> в худшем случае, о которой говорилось в начале. Но поскольку мы обходим поддерево α-сбалансированного по весу дерева можно показать, что амортизированная сложность операции не превысит <tex>O(log N)</tex>.;
*'''Что делать, если возникло несколько вершин, для которых нарушился α-балан?'''
:Ответ прост: выбрать можно любую.;
<br><br>
==Внешние ссылки==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#In-order_.28symmetric.29 In-order обход дерева]
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Scapegoat_tree Википедия - Scapegoat tree]<br>
*[https://habrahabr.ru/company/infopulse/blog/246759/ Хабрахабр - Scapegoat деревья]<br>
*[https://people.ksp.sk/~kuko/gnarley-trees/ Scapegoat Tree Applet by Kubo Kovac]
