1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}
Лекция от 27 сентября 2010.
[[Предел последовательности#Предел последовательности|Определение предела]] ==Теорема Вейерштрасса==
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> ''ограничена'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: |a_n| \le a </tex>
<tex> a_n </tex> {{- --}} ''ограничена сверху'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le a </tex>
<tex> a_n </tex> {{- --}} ''ограничена снизу'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le ge a </tex>
}}
{{Теорема
|id = thWeier
|author=Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> a_n \uparrow </tex> и <tex> a_n </tex> ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если <tex> a_n \downarrow </tex>, <tex> a_n </tex> {{- --}} ограничена снизу).
|proof=
<tex> \exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n </tex>, поскольку <tex> a_n </tex> {{- --}} ограничена сверху, и <tex> d </tex> {{--- }} конечен, так как <tex> a_n </tex> {{--- }} ограничена сверху.
По [[Грани числовых множеств#defsup|определению ]] <tex> \sup a_n </tex>:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: d - \varepsilon < a_n </tex>
}}
===Пример===
<tex> a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k} </tex>
Разделив данное равенство на <tex> n ^ k </tex>, получаем:
<tex> a_n = \sum\limits_{k=0}^n \frac {1}{k!}(1 - \frac 0n)(1 - \frac 1n)...(1-\frac {k-1}{n}) \qquad {(*)} </tex>
<tex> a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac {1}{k!} (1 - \frac {0}{n+1})(1 - \frac {1}{n+1})...(1-\frac {k-1}{n+1}) </tex>
Сравнивая эти две суммы, можно заметить, что все слагаемые положительны, и каждое текущее слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого 2 первой суммы, из чего следует, что <tex> a_{n+1} > a_n \Rightarrow a_n \uparrow </tex>
Теперь покажем, что <tex> a_n </tex> ограничена.
<tex> 2 < a_n < 3 \Rightarrow </tex> По теореме Вейерштрасса, <tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>. Также только что мы показали, что <tex> 2 < e < 3 </tex>.
== Теорема Больцано ==
{{Определение
|definition= Если дана последовательность <tex> \{ a_n \} </tex> и <tex> \varphi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N, \varphi \uparrow </tex> (строго возрастает),
тогда последовательность <tex> b_n = a_{\varphi_(n)} </tex> называется '''подпоследовательностью''' исходной последовательности.
}}
=== Пример ===
<tex> b_n = a_{2n} : b_1 = a_2, b_2 = a_4, \dots </tex>
В силу строго возрастания <tex> \varphi \uparrow </tex>, очевидно, что если <tex> a_n \rightarrow k </tex>, то <tex> a_{\varphi(n)} \rightarrow k </tex>. Любая подпоследовательность сходится к тому же пределу.
{{Теорема
|id = thBolzano
|author=Больцано
|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
|proof= Применим способ половинного деления, основанный на принципе вложенных отрезков: если строить систему отрезков путем деления предыдущего отрезка пополам, то получится система вложенных отрезков, и так до бесконечности..
Пересечение всех отрезков {{---}} 1 точка (по свойству системы вложенных отрезков).
Раз <tex> a_n </tex> ограничена, то <tex> \forall n: a_n \in \Delta_0 = [c, d] </tex>
Делим его пополам, тогда в одной из двух половин этого отрезка будет содержаться бесконечно много <tex> a_n </tex>. Назовем его <tex> \Delta_1, |\Delta_1| = \frac 12 |\Delta_0| </tex>
Далее делим <tex> \Delta_1 </tex> на 2 части и называем <tex> \Delta_2 </tex> ту половину, в которой содержится бесконечно много <tex> a_n </tex>. Продолжаем этот процесс до бесконечности.
<tex> \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
<tex> |\Delta_n| \rightarrow 0 </tex>
По принципу вложенных отрезков: <tex> \exists !d^*: d^* \in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty} \Delta_n </tex>
<tex> \Delta_n = [c_n, d_n], c_n, d_n \rightarrow d^* </tex>
Построим следующую таблицу:
<tex> (a_{00}, a_{01}, a_{02}, \dots) \in \Delta_0 </tex>
<tex> (a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots) \in \Delta_1 </tex>
<tex> (a_{20}, a_{21}, a_{22}, \dots) \in \Delta_2 </tex>
<tex> \dots </tex>
Каждая последующая строчка составляется из предыдущей. Выбирая подпоследовательность так, чтобы номер следующего элемента был строго больше номера предыдущего выбранного элемента в предыдущей строчке.
Получили подпоследовательность <tex> b_n </tex>:
<tex> c_n \le b_n \le d_n \Rightarrow b_n \rightarrow d^* </tex> (принцип сжатой переменной)
<tex> b_n </tex> — подпоследовательность <tex> a_n </tex> и она сходится.
}}
== Теорема Коши ==
Пункт третий связан с одним из фундаментальных свойств числовой оси {{---}} ''полнотой''.
{{Определение
|id =
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> ''сходится в себе'':
<tex> \lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} |a_n - a_m| = 0 </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb N: \forall n, m > N \Rightarrow |a_n - a_m| < \varepsilon </tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Если <tex> a_n </tex> сходится, то <tex> a_n </tex> сходится в себе.
|proof=
Пусть <tex> a_n \rightarrow a, |a_n - a_m| < |a_n - a| + |a_m - a| < \varepsilon </tex>, если в определении предела для <tex> a_n \rightarrow a </tex> положить <tex> \varepsilon ' = \frac {\varepsilon}2 </tex>, тогда каждое слагаемое не больше <tex> \frac {\varepsilon}2 </tex>.
}}
{{Теорема
|id = thCauchy
|author=Коши
|statement=Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.
|proof=
Положим <tex> \varepsilon = 1 \Rightarrow \exists N: \forall n \ge N: |a_n - a_N| < 1 </tex>.
Вне <tex> (a_N - 1, a_N + 1) </tex> может оказаться самое большее <tex> a_1, a_2, ..., a_{N - 1} \Rightarrow </tex> последовательность <tex> \{ a_n \} </tex> {{---}} ограничена. Раз она ограничена, по теореме Больцано, в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
<tex> \exists a_{n_k} \rightarrow a </tex> при <tex> k \rightarrow \infty (a_{\varphi(n)} = a_{n_k}) </tex>.
<tex> |a_n - a| \le |a_n - a_{m_k}| + |a_{m_k} - a| </tex>
По сходимости в себе: <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall m, n > N: |a_n - a_m| < \frac {\varepsilon}2 </tex>
По сходимости <tex> a_{m_k}: \exists M: \forall k > M \Rightarrow |a_{m_k} - a| < \frac {\varepsilon}2 </tex>
Так как <tex> m_k </tex> - неограниченно возрастающая последовательность натуральных чисел <tex> \exists k_0 > M, m_{k_0} > N </tex>, так как <tex> M, N </tex> заданы.
Тогда для такого <tex> k_0 </tex> и всех <tex> N, M : |a_n - a| \le |a_n - a_{m_{k_0}}| + |a_{m_{k_0}} - a| < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a </tex>
}}
<tex> \{ a_n \} </tex> сходится <tex> \iff \{ a_n \} </tex> сходится в себе.
Такое свойство принято называть полнотой вещественной оси, также {{---}} критерий Коши существования предела числовой последовательности.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
