113
правок
Изменения
Аффинные подпространства
<math>\displaystyle p = \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i</math>.
}}
С помощью этого определения довольно естественно ввести следующее определение аффинного подпространства.
{{Определение
|definition=Если <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – это аффинное пространство, то <math>B \subset A</math> является '''аффинным подпространством''' пространства <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, если любая аффинная комбинация любого множества точек из <math>B</math> принадлежит <math>B</math>.
}}
Например, <math>\{z=1\}</math> будет аффинным подпространством аффинного пространства над <math>\mathbb{R}^3</math>,
и прямая <math>ax+by=c</math> будет аффинным подпространством аффинного пространства над <math>\mathbb{R}^2</math>.
Следующая лемма проводит связь между аффинными подпространствами и векторными подпространствами.
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – это аффинное пространство.
# Непустое <math>B \subset A</math> является аффинным подпространством тогда и только тогда, когда для любой точки <math>a \in B</math> множество <math>W_a = \{\overrightarrow{ab} : b \in B\}</math> является подпространством <math>V</math>. Как следствие, <math>B=\{a + w : w \in W_a \}</math>. Более того, <math>W = \{\overrightarrow{ab} : a, b \in B\}</math> является подпространством <math>V</math>, и для любой точки <math>a \in B</math> справедливо <math>W_a = W</math>.
# Для любого <math>W</math>, являющегося подпространством <math>V</math>, множество <math>\{a + v : v \in W\}</math> является аффинным подпространством для любого <math>a \in A</math>.
}}
