113
правок
Изменения
reorder
определённых как линейные комбинации в которых сумма коэффициентов равна <math>1</math>.
Пространство с аффинной структурой и есть аффинное пространство.
==Базисы векторного пространства==
{{Определение
|definition=Набор векторов <math>\{\vec{e}_i\}_{i=1}^n</math> называется '''линейно независимым''' (ЛНЗ), если его линейная комбинация <math>\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i</math> равна нулю только в том случае, если она тривиальная, то есть <math>\forall i : \alpha_i = 0</math>.
}}
{{Определение
|definition=Векторное пространство называется <math>d</math>-мерным, если в нём существует набор из <math>d</math> линейно независимых векторов,
и не существует набора из <math>d + 1</math> линейно независимого вектора.
}}
====Единственность разложения====
{{Утверждение
|statement=В <math>d</math>-мерном пространстве любой вектор <math>\vec{A}</math> единственным образом раскладывается в базисе из <math>d</math> линейно независимых векторов <math>\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d</math> как <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i</math>.
|proof=Если мы добавим в базис вектор <math>\vec{A}</math>, то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие <math>\beta</math> и <math>\{\alpha_i\}</math>, что
<math>\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies
\vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i</math>,
и, значит, разложение существует.
Теперь пусть есть два разложения <math>\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}</math> и <math>\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}</math>.
Тогда
<math>\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i</math>,
однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть
<math>\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies</math> разложение единственно.
}}
====Матрица перехода====
Мы можем переходить из одного базиса в другой.
Пусть у нас есть базисы <math>\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d</math> и <math>\{\vec{f}_i\}_{i=1}^d</math>.
<math>\displaystyle
\vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d\beta_i\vec{f}_i \ \land\
\vec{e}_i = \sum_{j=1}^d c_{ij}\vec{f}_j</math>
<math>\displaystyle
\vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i =
\sum_{i=1}^d \alpha_i \sum_{j=1}^d c_{ij} \vec{f}_j =
\sum_{j=1}^d \vec{f}_j \sum_{i=1}^d \alpha_i c_{ij}</math>
<math>\displaystyle
\beta_j = \sum_{i=1}^d\alpha_i c_{ij} \implies
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_d \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{d1} \\
c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{d2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1d} & c_{2d} & \cdots & c_{dd}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_d \end{pmatrix}
</math>
==Определения==
}}
==Вычисление поворота==
===Матрица поворота===
