Изменения
Жолус
<b>Двойственным пространством</b> называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
}}
Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) := ax - + b + = cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(-a, -b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
для прямой, как точку в двойственном пространстве.
{{Утверждение|statement=
Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y, p_z)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
|proof=
Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (-a, b, c), \: cp_y = ap_x - bp_z\}</tex>.Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b p_z = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
}}
# <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
|proof=
}}
{{Утверждение|statement=
где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.
|proof=
}}
== Прикладной смысл двойственного пространства ==
Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
# [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
# Set of points to Arrangements of Lines // TODO
