1679
правок
Изменения
м
ойойой, завтра все поправлю.
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d </tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) <tex>\Rightarrow</tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.
== Печальная часть статьи ==В том что я набрал, очень сильно отличаются конспекты. Поэтому пока даже не форматирую в tex.
f(x) = \rho(x, a)
f: X \rightarrow R_+.
Утверждение:
F - замкнуто \Rightarrow x \in F \Leftrigharrow \rho(x, F) = 0
{{TODO| t = непонятно. у меня и Артема в конспекте написано что доказательство - упражнение на дом, но у Вали в конспекте что- то есть. Тут надо проверить, правда ли это:
\rho(x, F) = inf \rho(x, a), a \in F
\rho(x, x) = 0, \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? \rho(x, F) = 0, \Leftarrow x \in F
Обратно:
x \in F \Rightarrow \rho(x, x) = 0 ; inf \rho(x, a) = 0 (т.к. \rho >= 0) \Rightarrow \rho(x ???? \forall a \in F
}}
Теорема(о нормальности МП):
Любое МП - нормальное.
(X, \rho) - МП. F_1 \cap F_2 = \varnothing F_1, F_2 - замкнутые \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j \in G_j , j = 1, 2; G_1 \cap G_2 = \varnothing
Док-во:
f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)}. Т.к. F_1 \cap F_2 = \varnothing и F_1, F_2 - замкнуты, то знаменатель != 0 \Rightarrow f(x) корректна и непрерывна в силу непрерывности \rho. При этом: x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1. Рассмотрим на R пару интервалов: (- \infty; \frac 1 3) и (\frac 1 2, + \infty). Т.к. f(x) неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество.
G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty)
F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing, ч.т.д.
Свойства непрерывных отображений
1) Определение:
(X, \rho) - МП. K \in X является компактом в X, если из любой последовательности точек \in K можно выделить сходящуюся подпоследовательность x_n: lim x_n \in K.
[a, b] на \mathbb{R} - классический пример.
Легко видеть что если K - компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случае.
2) Связные мн-ва:
A \in X является связным, если нельзя подобрать пару G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2).
Например, любой промежуток на R - связное множество.
Свойство связного множества: Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.
Пусть A - связное в R. Пусть a, b \in A. Если \forall c \in (a, b): c \in A, свойство верно.
Док-во:
G_1 \cup G_2 = R\{c| c \in A}, A = (A \cap G_1) \cup (A \ cap G_2) \Rightarrow A не связно, получили противоречие, c \in A, ч.т.д.
Эти классы определены, т.к:
Теорема:
Пусть K - компакт в (Y, \rho')( непрерывный образ K есть K).
Док-во:
Рассмотрим y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K.
\exists x_{nk} \rightarrow x \in K. По непрерывности f(K): y_{nk} = f(x_{nk}) \rightarrow y = f(x) \in f(K), ч.т.д.
Определение: равномерно - непрерывные отображения
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
