Доказательство того, что следующие языки неразрешимы:{{Теорема|statement= Задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.|proof= # Пусть <tex>A_{TM} A = \{ (MG_1, wG_2) \mid M L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}</tex>. Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>\overline{A}</tex>, таким образом показав, что дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико- множественных и алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы. Для любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> машина Тьюрингаи <tex>(y_1, y_2, допускающая строку ..., y_n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> можно подобрать символ <tex>w \}# \notin \Sigma</tex> . Для каждого экземпляра построим грамматики:* <tex>G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\# a</tex>L_{TM} для всех <tex>a \in \Sigma</tex>. Тогда <tex>L(G_1) = \{ (M, w) \#w^R \mid M - w \in \Sigma^* \}</tex> машина Тьюринга, допускающая строку где обозначение <tex>w^R</tex> и не допускающая строку {{---}} разворот <tex>w \}</tex>.* <tex>G_2 : S \rightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\# y^R_i</tex>Aдля всех <tex>i = 1, 2, \dots n</tex>. Тогда <tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \varepsilon_dots x_{TMi_m} = \# (y_{i_1} y_{ M i_2} \dots y_{i_m})^R \mid M - i_1, i_2, \dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}</tex>. Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>L(G_2)</tex> содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\#w^R</tex>, поэтому <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing</tex>, и наоборот, если он не имеет решения, то <tex>L(G_2)</tex> машина Тьюрингане содержит строк такого вида, допускающая соответственно <tex>L(G_1) \varepsilon cap L(G_2) = \}varnothing</tex>. # Таким образом мы свели проблему соответствий Поста к <tex>R_\overline{TMA}</tex>, следовательно, задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.}} = \{ M \mid M Из неразрешимости вышеприведенной задачи следует неразрешимость ряда других задач. Рассмотрим несколько примеров. По двум КС- грамматикам <tex>G_1</tex> машина Тьюринга и <tex>G_2</tex> можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>L(G_1)L(MG_2) - </tex> регулярный . По аналогии с этим мы можем рассматривать язык <tex> L(G_1)\#L(G_2)\}#</tex>, где <tex>\# </tex>E_{TM{---} = } новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \{ M ne \mid M - varnothing </tex> машина Тьюринга , тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\#L(G_2)\#</tex> содержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]]. Аналогично можно заметить, что пересечение <tex>L(MG_1) = \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\}#L(G_2)^R</tex> содержит палиндром. Таким образом, мы имеем:{{Утверждение|statement= Пусть дана грамматика <tex>G</tex>, <tex>L(G) = L</tex>. Тогда следующие задачи неразрешимы:# Содержит ли <tex>L</tex> тандемный повтор.# Содержит ли <tex>L</tex>палиндром.}}
