Изменения

|proof=Пусть <tex> A </tex> и <tex> B </tex> — данные множества. Будем строить соответствие пошагово. Пусть мы сделали некоторое соответствие для подмножеств <tex> A_n \subset A </tex> и <tex> B_n \subset B </tex> из <tex> n </tex> элементов. Возьмем любой элемент одного из множеств (для определенности <tex> A </tex>), который не вошел в <tex> A_n </tex>. Посмотрим, в каком отношении он находится со всеми элементами из <tex> A_n </tex>. Он оказался либо наибольшим элементом, либо наименьшим элементом, либо стоящим между некоторыми элементами <tex> a_i </tex> и <tex> a_{i+1} </tex>. Найдем элемент в <tex> B </tex>, находящийся в таком же отношении со всеми элементами <tex> B_n </tex>. Мы можем это сделать, т.к. так как <tex> B </tex> — плотное множество без наибольшего и наименьшего элементов. Будем считать эти два элемента эквивалентными. Тогда, мы научились получать из соответствия для <tex> n </tex> элементов соответствие для <tex> n+1 </tex> элемента. Чтобы в пределе получить соответствие для всех элементов, воспользуемся счетностью множеств. Пронумеруем все элементы и на каждом четном шаге будем выбирать еще не взятый элемент из множества <tex> A </tex> с наименьшим номером, а на нечетном — из <tex> B </tex>.