113
правок
Изменения
→Свойства
Обозначим <tex>{t}_{ij}</tex> — элементарную матрицу, полученную из единичной путем изменения <tex>i</tex>-й и <tex>j</tex>-й строк. Рассмотрим матрицу перестановок
<tex> P = \begin {pmatrix}
{a}_{11} & {a}_{12} & ... \ldots & {a}_{1n}\\{a}_{21} & {a}_{22} & ... \ldots & {a}_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
{a}_{n1} & {a}_{n2} & ... \ldots & {a}_{nn}
\end {pmatrix}</tex>
Возьмем <tex> {{a}_{ij} \ne 0} </tex> и перестановками строк (домножением соответствующей элементарной матрицей слева) или столбцов (домножением соответствующей элементарной матрицей справа) перемещаем его на первое место. Так как в каждой строке или столбце только одна единица, то получим: <tex> \begin {pmatrix}
1 & 0 & ... \ldots & 0\\0 & {a}_{22}' & ... \ldots & {a}_{2n}'\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & {a}_{n2}' & ... \ldots & {a}_{nn}'
\end {pmatrix}</tex> и так далее, пока не получится единичной матрицы.
