1679
правок
Изменения
м
release
<tex>
1) |ab| = |a||b|; \\2) |x + y| \le |x| + |y|; \\3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;
</tex>
В множестве <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\\exists n \in \mathbb N : q < n*\cdot r
</tex>
Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится на <tex>2n</tex>
<tex> m = 2p,\ , 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ , n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
Возможны два случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом
\delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
Заметим, что если <tex> \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}</tex>, то <tex>d^2 + (2d+1)\delta < 2 ,\ , d^2 < 2,\ , 2 - d^2 > 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow Rightarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
По предположению, <tex> A \le d;\ rightarrow d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
}}
