1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
# Для n = 1 {{---}} очевидно
# <tex> {(a + b)}^{n + 1} = a{(a + b)}^n + b{(a + b)}^n = </tex><br />
:<tex> = \sum_sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k + 1} = </tex>
:<tex> = \sum_sum\limits_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum_sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
:<tex> = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum_sum\limits_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum_sum\limits_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
:<tex> = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum_sum\limits_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}</tex>
:Так как <tex>1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 </tex> , то
:<tex> = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum_sum\limits_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}</tex>
:Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим:
:<tex> = \sum_sum\limits_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}</tex> , что есть разложение для <tex> {(a + b)}^{n + 1} </tex>
}}
