54
правки
Изменения
Добавил доказательство единственности функционала в теореме о продолжении со всюду плотного линейного подмножества.
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
* единственность: любой функционал <tex>g</tex>, удовлетворяющий условию теоремы, непрерывен, а значит из <tex>y_n \rightarrow x</tex> следует <tex>g(y_n) \rightarrow g(x)</tex>, но <tex>y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f(y_n)</tex>, то есть <tex>g(x) = \lim f(y_n)</tex>, то есть такой функционал может определяться только формулой выше.
{{
