Изменения

Теперь формула приняла вид <tex>dp[i] = \min\limits_{j=0...i-1}(k[j] \cdot x[i] + b[j])</tex>. Выражение <tex>k[j] \cdot x + b[j]</tex> -- это в точности уравнение прямой вида <tex>y = kx + b</tex>.

Воспользуемся идеей алгоритма построения выпуклой оболочки множества точек. Заведем 2 стека <tex>k[]</tex> и <tex>b[]</tex>, которые задают прямые в отсортированном порядке их угловыми коэффицентами и свободными членами. Рассмотрим ситуацию, когда мы хотим добавить новую (<tex>i</tex>-тую) прямую в множество. Пусть сейчас в множестве лежит <tex>sz</tex> прямых (нумерация с 1). Пусть <tex>(xL, yL)</tex> -- точка пересечения <tex>sz - 1</tex>-й прямой множества и <tex>sz</tex>-й, а <tex>(xR, yR)</tex> -- точка пересечения новой прямой, которую мы хотим добавить в конец множества и <tex>sz</tex>-й. Нас будут интересовать только их <tex>x</tex>-овые координаты <tex>xL</tex> и <tex>xR</tex>, соответственно. Если оказалось, что новая прямая пересекает <tex>sz</tex>-ю прямую выпуклой оболочки позже, чем <tex>sz</tex>-я <tex>sz - 1</tex>-ю, т.е. <tex>(xL \geqslant xR)</tex>, то <tex>sz</tex>-ю удалим из нашего множества, иначе -- остановимся. Так будем делать, пока либо кол-во прямых в стеке не станет равным 2, либо <tex>xL</tex> не станет меньше <tex>xR.</tex>

|proof=Достаточно показать, что последнюю прямую нужно удалить из множества т.и т.т., когда она наша новая прямая пересекает ее в точке с координатой по оси X, меньшей, чем последняя -- предпоследнюю.

Пусть <tex>Y(x) = Kx + B</tex> -- уравнение новой прямой, <tex>y[i](x) = K[i]x + B[i]</tex> -- уравнения прямых множества. Тогда т.к. <tex>K < K[sz]</tex>, то при <tex>x \in [- \infty; xR] : y[sz](x) <= Y(x)</tex>, а т.к. <tex> K[sz] < K[sz - 1]</tex>, то при <tex>x \in [xL; + \infty] : y[sz - 1](x) \geqslant y[sz](x)</tex>. Если <tex>xL < xR</tex>, то при <tex>x \in [xL; xR] : y[sz - 1] \geqslant y[sz](x) и Y(x) \geqslant y[sz](x)</tex>, т.е. на отрезке <tex>[xL; xR]</tex> прямая номер sz лежит ниже остальных и её нужно оставить в множестве. Если же <tex>xL > xR</tex>, то она ниже всех на отрезке <tex>[xL; xR] = \varnothing </tex>, т.е. её можно удалить из множества

Заметим, что условия на прямые, что <tex>k[i]</tex> возрастает/убывает и <tex>x[i]</tex> убывает/возрастает выглядят достаточно редкими для большинства задач. Пусть в задаче таких ограничений нет. Первый способ борьбы с этой проблемой -- отсортировать входные данные нужным образом, не испортив свойств задачи (пример : задача G c Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.pdf]).

Но рассмотрим общий случай. По-прежнему у нас есть выпуклая оболочка прямых, имея которую мы за <tex>O(\log(n))</tex> можем найти <tex>dp[i]</tex>, но теперь вставку <tex>i</tex>-й прямой в оболочку уже нельзя выполнить описанным ранее способом за <tex>O(1)</tex> в среднем. У нас есть выпуклая оболочка, наша прямая пересекает ее, возможно, «отсекая» несколько отрезков выпуклой оболочки в середине (рис. 4 : красная прямая -- та, которую мы хотим вставить в наше множество). Более формально : теперь наша новая прямая будет ниже остальных при <tex>x \in [x1; x2]</tex>, где <tex>x1, x2 \in R</tex> -- точки пересечения с некоторыми прямыми, причем <tex>x2</tex> не обязательно равно <tex>+ \infty</tex>

Другой способ интерпретировать выражение <tex>dp[i] = \min\limits_{j=0...i-1}(c[j] \cdot a[i] + dp[j])</tex> заключается в том, что мы будем пытаться свести задачу к стандартной выпуклой оболочке множества точек. Перепишем выражение средующим образом : <tex>dp[j] + a[i] \cdot c[j] = (dp[j], c[j]) \cdot (1, a[i])</tex>, т.е. запишем как скалярное произведение векторов <tex>v[j] = (dp[j], c[j])</tex> и <tex >u[i] = (1, a[i])</tex >. Вектора <tex >v[j] = (dp[j], c[j])</tex> хотелось бы организовать так, чтобы за <tex >O(\log(n))</tex> находить вектор, максимизирующий выражение <tex>v[j] \cdot u[i]</tex>. Посмотрим на рис. 5. Заметим интуитивно очевидный факт : красная точка (вектор) <tex>j</tex> не может давать более оптимальное значение <tex>v[j] \cdot u[i]</tex> одновременно чем обе синие точки. По этой причине нам достаточно оставить выпуклую оболочку векторов <tex>v[j]</tex>, а ответ на запрос -- это поиск <tex>v[j]</tex>, максимизирующего проекцию на <tex>u[i]</tex>. Это задача поиска ближайшей точки выпуклого многоугольника (составленного из точек выпуклой оболочки) к заданной прямой (из <tex>(0, 0)</tex> в <tex>(1, a[i])</tex>). Ее можно решить за <tex>O(\log(n))</tex> двумя бинарными или одним тернарным поиском