Изменения

Для понимания идеи алгоритма представим, что наша сеть {{---}} система из резервуаров, находящихся на определенной высоте, и соединяющих их труб с заданными пропускными способностями, соответствующих вершинам и рёбрам в исходной сети. Сам алгоритм можно представить как процесс поочередного "переливания" жидкости (операция проталкивания) из одного резервуара в другие, находящиеся на меньшей высоте, до тех пор пока не перестанет существовать резервуар, соответствующий переполненной вершине. Может случиться ситуация, что все трубы, выходящие из переполненной вершины <tex> u </tex>, ведут к вершинам, находящимся на такой же высоте что и <tex> u </tex> или выше её. В таком случае поднимем резервуар (операция подъемаподъёма), соответствующий данной вершине, таким образом, чтобы его высота стала на единицу больше, чем высота самого низкого из смежных резервуаров. После подъема подъёма будет существовать по крайней мере одна труба, по которой можно пропустить жидкость.

Как упоминалось ранее, в алгоритме выполняются две основные операции: проталкивание из переполненной вершины избытка потока в смежные вершины, высота которых меньше, чем у переполненной, и подъем подъём вершины.

=== Подъем подъём (relabel) ===Операция подъема подъёма применима для вершины <tex> u </tex>, если <tex> e(u) > 0 </tex> и <tex> \forall (u, v) \in E_f \quad h(u) \leqslant h(v) </tex>.

То есть, для переполненной вершины <tex> u </tex> применима операция подъемаподъёма, если все вершины, для которых в остаточной сети есть рёбра из <tex> u </tex>, расположены не ниже <tex> u </tex>. Следовательно, операцию проталкивания для вершины <tex> u </tex> произвести нельзя.

В результате подъема подъёма высота текущей вершины становится на единицу больше высоты самый низкой смежной вершины в остаточной сети, вследствие чего появляется как минимум одно ребро, по которому можно протолкнуть поток.

После инициализации будем выполнять операции проталкивания и подъема подъёма в произвольном порядке. Утверждается, что количество данных операций конечно, и после завершения работы алгоритма наш предпоток является максимальным потоком.

Доказательство проведем по числу выполненных операций проталкивания и подъемаподъёма.

Теперь докажем переход: если перед выполнением операции проталкивания или подъема подъёма <tex> h </tex> является функцией высоты, то и после выполнения операции она останется функцией высоты. Для этого рассмотрим проталкивание и подъем подъём отдельно.

Теперь рассмотрим операцию подъема подъёма вершины <tex> u </tex>. По определению данной операции гарантируется, что после её выполнения для любого ребра <tex> (u, v) \in E_f </tex> выполняется условие <tex> h(u) \leqslant h(v) + 1 </tex>, то есть все выходящие рёбра удовлетворяют условиям, накладываемым на функцию высоты. Рассмотрим какое-то входящее ребро <tex> (w, u) </tex>. Так как до операции <tex> h </tex> являлась функцией высоты, то справедливо <tex> h(w) \leqslant h(u) + 1 </tex>. После подъема подъёма высота вершины <tex> u </tex> увеличивается как минимум на единицу, следовательно, после выполнения данной операции <tex> h(w) < h(u) + 1 </tex>. Таким образом, <tex> h </tex> и после выполнения операции <tex> \mathrm{relabel}</tex><tex>(u) </tex> остается функций высоты.

Пусть <tex> f </tex> {{---}} предпоток в сети <tex> G </tex>. Тогда для любой переполненной вершины можно выполнить операцию проталкивания либо операцию подъемаподъёма.

Рассмотрим вершину <tex> u </tex>, для которой <tex> e(u) > 0 </tex>. Для любого ребра <tex> (u, v) \in E_f </tex> справедливо <tex> h(u) \leqslant h(v) + 1 </tex> по свойствам функции высоты. Если к вершине <tex> u </tex> применима операция проталкивания, то лемма доказана. Иначе, для всех рёбер <tex> (u, v) \in E_f </tex> выполняется соотношение <tex> h(u) < h(v) + 1 </tex>. Следовательно, <tex> h(u) \leqslant h(v) </tex>. Но тогда данная вершина удовлетворяет условиям операции подъемаподъёма, следовательно, к вершине <tex> u </tex> можно применить эту операцию.

Внутри цикла выполняются лишь операции проталкивания и подъемаподъёма. Операция подъема подъёма не влияет на величины потока, а лишь изменяет высоту вершины, следовательно от операции подъема подъёма не зависит, будет ли <tex> f </tex> предпотоком. Операция <tex> \mathrm{push}</tex><tex>(u, v)</tex> применяется, если <tex> e(u) > 0 </tex>, увеличивая поток через ребро <tex> (u, v) </tex> на величину, не превышающую избыточный поток вершины <tex> u </tex> и остаточную пропускную способность ребра <tex> (u, v) </tex>. Следовательно, если перед выполнением операции проталкивания <tex> f </tex> являлся предпотоком, то и после выполнения проталкивания <tex> f </tex> останется предпотоком.

После завершения алгоритма для каждой вершины <tex> u \in V \setminus \{s, t\} </tex> справедливо, что <tex> e(u) = 0 </tex>, что следует непосредственно из [[#Лемма1|леммы (1)]], [[#Лемма2|леммы (2)]] и того, что перед выполнением операций проталкивания или подъема подъёма <tex> f </tex> является предпотоком. Но тогда <tex> f </tex> удовлетворяет условию сохранения потока, то есть сам является потоком.

Чтобы показать, что алгоритм завершает свою работу, найдем максимальное количество операций проталкивания и подъемаподъёма. Для того докажем несколько вспомогательных лемм.

Рассмотрим вершину <tex> u </tex> отличную от истока и стока. Изначально <tex> h(u) = 0 \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Покажем, что после любой операции подъема подъёма <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Для того, чтобы мы имели право произвести операцию <tex> \mathrm{relabel}</tex><tex>(u) </tex>, вершина <tex> u </tex> должна быть переполнена. Тогда по [[#Лемма4|лемме (4)]] существует простой путь <tex> p </tex> из <tex> u </tex> в <tex> s </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex>. Рассмотрим этот путь. Пусть <tex> p = \left\langle v_0, v_1, \dots, v_k \right\rangle </tex>, где <tex> v_0 = u </tex> и <tex> v_k = s </tex>. Так как путь <tex> p </tex> простой, то <tex> k \leqslant \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. По определению функции высоты имеем, что <tex> \forall i \in \{0, 1, \dots, k - 1\} </tex> <tex> h(v_i) \leqslant h(v_{i+1}) + 1</tex>. Но тогда для вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> верно, что <tex> h(u) \leqslant h(s) + \left\vert V \right\vert - 1 = 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>

На основании предыдущей леммы покажем верхнюю границу числа подъемовподъёмов.

Пусть <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. Тогда во время выполнения алгоритма <tex> \mathrm{pushRelabelMaxFlow}</tex> общее число подъемов подъёмов не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>

Так как высоты истока и стока не изменяются в процессе работы алгоритма, то только <tex> \left\vert V \right\vert - 2 </tex> вершин могут быть подняты. Пусть <tex> u \in V \setminus \{s, t\}</tex>. Изначально <tex> h(u) = 0 </tex>, и по [[#Лемма5|лемме (5)]] известно, что <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. А так как при выполнении операции <tex> \mathrm{relabel}</tex><tex>(u) </tex> высота вершины увеличивается как минимум на единицу, то максимальное количество подъемов подъёмов вершины <tex> u </tex> также не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Тогда суммарно число подъемов подъёмов не превышает <tex> (\left\vert V \right\vert - 2 ) \cdot (2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>.

Первое, что может увеличить <tex> \Phi </tex>, это подъемподъём, поскольку, осуществляя данную операцию, мы не изменяем избыточный поток ни у одной вершины, а лишь увеличиваем высоту одной из них. При каждой операции подъема подъёма <tex> \Phi </tex> увеличивается менее чем на <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert </tex>, так как подъем подъём не может увеличить высоту вершины больше, чем её максимальная высота, которая согласно [[#Лемма5|лемме (5)]] может быть не более <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. А поскольку из [[#Лемма6|леммы (6)]] известно, что число подъемов подъёмов не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>, то суммарно подъемы подъёмы всех вершин могут увеличить <tex> \Phi </tex> не более чем на <tex> 4 \cdot \left\vert V \right\vert^3 </tex>.

Из [[#Лемма6|леммы (6)]], [[#Лемма8|леммы (8)]] и [[#Лемма9|леммы (9)]] следует, что число операций подъема подъёма и проталкиваний не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 + 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert + 4 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 (\left\vert V \right\vert + \left\vert E \right\vert) = O(V^2E) </tex>. А так как количество операций ограничено, то независимо от реализации алгоритм завершит свою работу.