Изменения

=={{Определение|definition==[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>p</tex> называется '''простым''', если <tex>p>1</tex> и <tex>p</tex> не имеет положительных делителей отличных от <tex>1</tex> и <tex>p</tex>}}

[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>n>1</tex> называется '''Простое числосоставным''' — это , если <tex>n</tex> имеет по крайней мере один положительный делитель отличный от <tex>1</tex> и <tex>n</tex>. }}  ==Свойства простых чисел== {{Утверждение|about=1|statement=<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_1</tex> не [[Натуральные_и_целые_числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BC|делится без остатка]] на <tex>p_2</tex>.|proof=Положительными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex> и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит <tex>p_1</tex> не делится на <tex>p_2</tex>}} {{Утверждение|about=2|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный делитель всегда является простым числом|proof=Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, отличные от <tex>1</tex> делители числа <tex>n</tex>. Множество M не пусто, так как <tex>n \in M</tex>. Значит в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число<tex>q>1</tex>.  Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, которое имеет ровно два различных натуральных делителя : единицу то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. Значит <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит <tex>q</tex> простое число. }} По этой теореме мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "[[Решето Эратосфена]]". ==Множество простых чисел=={{Утверждение|statement=Множество простых чисел бесконечно|proof=Пусть множество простых чисел конечно и самого себясостоит из чисел <tex>2,3,5, \dots p</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} последнее, самое большое простое число.  Рассмотрим число <tex>N=2*3*5* \dots *p +1</tex>. Число <tex>N</tex> не делится на числа <tex>2, 3, \dots , p</tex>. Так как при делении <tex>N</tex> на эти числа получится остаток <tex>1</tex>.  Значит число <tex>N=1</tex> (по утв. <tex>2</tex>). C другой стороны <tex>N>1</tex>. Значит предположение, что множество простых чисел конечно неверно.

: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, …\dots </tex> ==См. также==* [[Натуральные и целые числа]]* [[Основная теорема арифметики]]* [[Теоремы о простых числах]]* [[Разложение на множители (факторизация)]] ==Источники инфомации==* А.А. Бухштаб. "Теория чисел" {{---}} Просвещение. 1966 г. {{---}} с. 28 - 33.* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.