41
правка
Изменения
→Примеры #P-Complete задач
По данной формуле <tex>\phi</tex> с <tex>n</tex> переменными и <tex>m</tex> клозами построим целочисленную матрицу <tex>A'</tex> такую, что <tex>perm(A')=4^m\cdot(\#\phi)</tex>, где <tex>\#\phi -</tex> количество удовлетворяющих подстановок для <tex>\phi</tex>. Для этого будем рассматривать матрицу <tex>A'</tex> как матрицу смежности двудольного графа <tex>G'</tex> : <tex>X = \{x_1 \ldots \, x_n\}, \, \{x_i, x_j\} \in V(G) \iff A_{i, j} = 1</tex>. Таким образом, нашей целью будет построение некоторого графа <tex>G'</tex>, матрицей смежности которого будет <tex>A'</tex>.
Для этого по данной 3-КНФ формуле построим ориентированный граф <tex>G'</tex> таким образом, чтобы в нем существовали покрытия циклами двух видов: те, которые соответствуют удовлетворяющим назначениям, и те, которые не соответствуют. Назовем покрытием ориентированного графа циклами такой подграф, что для любой вершины есть ровно одно входящее и исходящее ребро. Такой подграф должен состоять из циклов. Определим вес покрытия как произведение весов ребер, входящих в него. Тогда <tex>perm(A)</tex> равен сумме весов всех возможных покрытий циклами. Далее покажем, что любое удовлетворяющее назначение для формулы <tex>\phi</tex> будет добавлять <tex>4^m</tex> к <tex>perm(A')</tex>, а остальные любое другое назначение не будут будет вносить вклад. Тогда <tex>perm(A')=4^m\cdot(\#\phi)</tex>.
Построение графа <tex>G'</tex> выполним за полиномиальное время. Для этого будем использовать три вида блоков. (Все ребра, для которых на схеме не указан вес, имеют вес <tex>1</tex>.)
